Псевдомногообразие можно рассматривать как комбинаторную реализацию общей идеи многообразия с особенностями. Понятия ориентируемости , ориентации и степени отображения имеют смысл для псевдомногообразий и, более того, в рамках комбинаторного подхода псевдомногообразия образуют естественную область определения этих понятий. [1] [2]
Определение
Топологическое пространство X, снабженное триангуляцией K , является n -мерным псевдомногообразием, если выполняются следующие условия: [3]
Каждый ( n –1)-симплекс является гранью ровно одного или двух n -симплексов при n > 1 .
Для каждой пары n -симплексов σ и σ' в K существует последовательность n -симплексов σ = σ 0 , σ 1 , ..., σ k = σ' такая, что пересечение σ i ∩ σ i +1 является ( n −1)-симплексом для всех i = 0, ..., k −1.
Условие 3 означает, что X является сильно связным симплициальным комплексом. [4]
Если мы требуем, чтобы условие 2 выполнялось только для ( n −1)-симплексов в последовательностях n -симплексов в условии 3, мы получаем эквивалентное определение только для n = 2. Для n≥3 существуют примеры комбинаторных непсевдомногообразий, которые сильно связаны посредством последовательностей n -симплексов, удовлетворяющих условию 2. [5]
Разложение
Сильно связанные n-комплексы всегда можно собрать из n -симплексов , склеив всего два из них в ( n −1)-симплексы . Однако, в общем случае, построение склеиванием может привести к непсевдомногообразию (см. рисунок 2).
Рисунок 2: Склеивание многообразия вдоль ребер многообразия (зеленый) может создать непсевдомногообразные ребра (красный). Разложение возможно разрезанием (синий) по особому краю
Тем не менее, всегда возможно разложить непсевдомногообразную поверхность на многообразные части, разрезая только по особым ребрам и вершинам (см. рисунок 2 синим цветом). Для некоторых поверхностей возможны несколько неэквивалентных вариантов (см. рисунок 3).
Рисунок 3: Поверхность, не являющаяся псевдомногообразием слева, можно разложить на ориентируемое многообразие (в центре) или на неориентируемое многообразие (справа).
С другой стороны, в более высоких размерностях, при n>2, ситуация становится довольно сложной.
В общем случае при n≥3 n-псевдомногообразия не могут быть разложены на многообразные части только путем разрезания в особых точках (см. рис. 4).
Рисунок 4: Два 3-псевдомногообразия с особенностями (красного цвета), которые нельзя разбить на части многообразия только разрезанием по особенностям.
При n≥3 существуют n-комплексы, которые невозможно разложить даже на части псевдомногообразия, только разрезая их по сингулярностям. [5]
Связанные определения
Псевдомногообразие называется нормальным , если линк каждого симплекса с коразмерностью ≥ 2 является псевдомногообразием.
Примеры
Сжатый тор ( см. рис. 1) является примером ориентируемого компактного двумерного псевдомногообразия. [3]
(Обратите внимание, что защемленный тор не является нормальным псевдомногообразием, поскольку связь вершины не связана.)
(Обратите внимание, что действительные алгебраические многообразия не всегда являются псевдомногообразиями, поскольку их особенности могут иметь коразмерность 1, например, возьмем xy=0.)
Комплексы, полученные склеиванием двух 4-симплексов в общем тетраэдре, являются собственным надмножеством 4-псевдомногообразий, используемых в формулировке спиновой пены петлевой квантовой гравитации . [6]
Комбинаторные n-комплексы, определяемые склеиванием двух n -симплексов в (n-1) -грань , не всегда являются n-псевдомногообразиями. Склеивание может привести к непсевдомногообразию. [5]
^ Сейферт, Х.; Трелфолл, В. (1980), Учебник топологии , Academic Press Inc., ISBN 0-12-634850-2
^ Спаниер, Х. (1966), Алгебраическая топология , McGraw-Hill Education, ISBN0-07-059883-5
^ ab Brasselet, JP (1996). «Пересечение алгебраических циклов». Журнал математических наук . 82 (5). Springer New York: 3625–3632. doi :10.1007/bf02362566. S2CID 122992009.
