Псевдосфера

Геометрическая поверхность

В геометрии псевдосфера — это поверхность с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .

Псевдосфера радиуса R — это поверхность, имеющая кривизну −1/ R ² в каждой точке. Ее название происходит от аналогии со сферой радиуса R , которая является поверхностью кривизны 1/ R ^2. Термин был введен Эудженио Бельтрами в его статье 1868 года о моделях гиперболической геометрии . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Трактроид

Трактроид

Эту же поверхность можно описать как результат вращения трактрисы вокруг ее асимптоты . По этой причине псевдосферу также называют трактоидом . Например, (половина) псевдосферы (с радиусом 1) является поверхностью вращения трактрисы, параметризованной [ ^2]

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

Это сингулярное пространство (экватор является сингулярностью), но вдали от сингулярностей оно имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну и, следовательно, локально изометрично гиперболической плоскости .

Название «псевдосфера» происходит от того, что она имеет двумерную поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны, так же как сфера имеет поверхность с постоянной положительной гауссовой кривизной. Так же как сфера имеет в каждой точке положительно искривленную геометрию купола , вся псевдосфера имеет в каждой точке отрицательно искривленную геометрию седла .

Еще в 1693 году Христиан Гюйгенс обнаружил, что объем и площадь поверхности псевдосферы конечны, ^[3] несмотря на бесконечную протяженность формы вдоль оси вращения. Для заданного радиуса ребра R площадь равна 4π R ² , как и для сферы, в то время как объем равен ⁠2/3⁠ π R ³ и, следовательно, половина сферы этого радиуса. ^{[4] [5]}

Псевдосфера является важным геометрическим предшественником математического тканевого искусства и педагогики . ^[6]

Универсальное укрывающее пространство

Псевдосфера и ее связь с тремя другими моделями гиперболической геометрии

Половина псевдосферы кривизны −1 покрыта внутренней частью орицикла . В модели полуплоскости Пуанкаре одним из удобных выборов является часть полуплоскости с y ≥ 1. [ ^7] Тогда покрывающее отображение является периодическим в направлении x с периодом 2 π и переводит орициклы y = c в меридианы псевдосферы, а вертикальные геодезические x = c в трактрисы, которые порождают псевдосферу. Это отображение является локальной изометрией и, таким образом, представляет часть y ≥ 1 верхней полуплоскости как универсальное покрывающее пространство псевдосферы. Точное отображение имеет вид

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )}}$

где

${\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}}$

является параметризацией трактрисы выше.

Гиперболоид

Деформация псевдосферы в часть поверхности Дини . В дифференциальной геометрии это преобразование Ли . В соответствующих решениях уравнения синус-Гордона эта деформация соответствует Лоренц-бусту статического 1- солитонного решения.

В некоторых источниках, использующих гиперболоидную модель гиперболической плоскости, гиперболоид упоминается как псевдосфера . ^[8] Такое использование слова обусловлено тем, что гиперболоид можно рассматривать как сферу мнимого радиуса, вложенную в пространство Минковского .

Псевдосферические поверхности

Псевдосферическая поверхность является обобщением псевдосферы. Поверхность, которая кусочно-гладко погружена в с постоянной отрицательной кривизной, является псевдосферической поверхностью. Трактроид является простейшим примером. Другие примеры включают поверхности Дини , поверхности бризеров и поверхность Куэна. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Связь с решениями уравнения синус-Гордона

Псевдосферические поверхности могут быть построены из решений уравнения синус-Гордона . ^[9] Эскиз доказательства начинается с перепараметризации трактоида с координатами, в которых уравнения Гаусса–Кодацци могут быть переписаны как уравнение синус-Гордона.

В частности, для трактроида уравнения Гаусса–Кодацци являются уравнением синус-Гордона, примененным к статическому солитонному решению, так что уравнения Гаусса–Кодацци удовлетворяются. В этих координатах первая и вторая фундаментальные формы записаны таким образом, что становится ясно, что гауссова кривизна равна −1 для любого решения уравнений синус-Гордона.

Тогда любое решение уравнения синус-Гордона может быть использовано для задания первой и второй фундаментальной формы, которые удовлетворяют уравнениям Гаусса–Кодацци. Тогда существует теорема, что любой такой набор начальных данных может быть использован для по крайней мере локального задания погруженной поверхности в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Ниже приведены несколько примеров решений синус-Гордона и соответствующих им поверхностей:

• Статический 1-солитон: псевдосфера
• Движущийся 1-солитон: поверхность Дини
• Решение для воздухоотвода: поверхность воздухоотвода
• 2-солитон: поверхность Куэна

Смотрите также

• Теорема Гильберта (дифференциальная геометрия)
• Поверхность Дини
• Рог Гавриила
• Гиперболоид
• Гиперболоидная структура
• Квазисфера
• Уравнение синуса–Гордона
• Сфера
• Поверхность вращения

Ссылки

1. Бельтрами, Эухенио (1868). «Очерк интерпретации неевклидовой геометрии». Гиор. Мат. (на итальянском языке). 6 : 248–312.

   (Переиздано в Beltrami, Eugenio (1902). Opere Matematiche . Том 1. Милан: Ulrico Hoepli. XXIV, стр. 374–405.Переведено на французский язык как «Essai d'interprétation de la Géométrie Noneuclidéenne». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Сер. 1. 6 . Перевод Ж. Уэля: 251–288. 1869. дои : 10.24033/asens.60 . ЭуДМЛ  80724 .Перевод на английский язык: «Эссе об интерпретации неевклидовой геометрии» Джона Стиллвелла , в Stillwell 1996, стр. 7–34.)

2. Бонахон, Фрэнсис (2009). Низкомерная геометрия: от евклидовых поверхностей до гиперболических узлов. AMS Bookstore. стр. 108. ISBN 978-0-8218-4816-6., Глава 5, стр. 108
3. Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (пересмотренное, 3-е изд.). Springer Science & Business Media. стр. 345. ISBN 978-1-4419-6052-8., выдержка из страницы 345
4. Le Lionnais, F. (2004). Великие течения математической мысли, т. II: Математика в искусстве и науке (2-е изд.). Courier Dover Publications. стр. 154. ISBN 0-486-49579-5., Глава 40, стр. 154
5. Вайсштейн, Эрик В. «Псевдосфера». MathWorld .
6. Робертс, Сиобхан (15 января 2024 г.). «Вязаный коралловый риф продолжает нереститься, гиперболически». The New York Times .
7. Терстон, Уильям, Трехмерная геометрия и топология , т. 1, Princeton University Press, стр. 62.
8. Хасанов, Эльман (2004), «Новая теория комплексных лучей», IMA J. Appl. Math. , 69 (6): 521–537, doi :10.1093/imamat/69.6.521, ISSN  1464-3634, архивировано из оригинала 2013-04-15
9. Уилер, Николас. "От псевдосферы к уравнению синус-Гордона" (PDF) . Получено 24 ноября 2022 г.

• Стиллвелл, Джон (1996). Источники гиперболической геометрии . Американское математическое общество и Лондонское математическое общество. ISBN 0-8218-0529-0.
• Хендерсон, Д. В.; Таймина, Д. (2006). «Ощущение геометрии: евклидова и неевклидова с историей». Эстетика и математика (PDF) . Springer-Verlag.
• Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (1940). Математика и воображение . Саймон и Шустер . С. 140, 145, 155.

Внешние ссылки

• Неевклид
• Вязание крючком гиперболической плоскости: интервью с Дэвидом Хендерсоном и Дайной Тайминой
• Лекция Нормана Вайлдбергера 16, История математики, Университет Нового Южного Уэльса. YouTube. Май 2012 г.
• Псевдосферические поверхности в виртуальном математическом музее.