Пустая правда

Условное утверждение, которое истинно, поскольку антецедент не может быть удовлетворен.

В математике и логике пустая истина — это условное или универсальное утверждение (универсальное утверждение, которое можно преобразовать в условное утверждение), которое истинно, поскольку антецедент не может быть удовлетворен . ^[1] Иногда говорят, что утверждение является абсурдно правдивым, поскольку на самом деле оно ничего не говорит. ^[2] Например, утверждение «все сотовые телефоны в комнате выключены» будет верным , если в комнате нет сотовых телефонов. В этом случае утверждение «все сотовые телефоны в комнате включены » также будет бессмысленно верным, как и их соединение : «все сотовые телефоны в комнате включены и выключены», что в противном случае было бы бессвязно и ложно.

Более формально, относительно четко определенное использование относится к условному утверждению (или универсальному условному утверждению) с ложным антецедентом . ^{[1] [3] [2] [4]} Одним из примеров такого утверждения является «если Токио находится в Испании, то Эйфелева башня находится в Боливии».

Такие утверждения считаются пустыми истинами, потому что тот факт, что антецедент ложен, не позволяет использовать это утверждение для вывода чего-либо об истинностном значении последующего . По сути, условное утверждение, основанное на материальном условии , истинно, когда антецедент («Токио находится в Испании» в примере) ложен независимо от того, является ли заключение или следствие («Эйфелева башня находится в Боливии» в пример) является истинным или ложным, потому что материальное условное выражение определяется таким образом.

Примеры, общие для повседневной речи, включают условные фразы, используемые как идиомы невероятности, такие как «когда ад замерзнет ...» и «когда свиньи смогут летать ...», указывающие на то, что говорящий не примет это до тех пор, пока не будет выполнено данное (невозможное) условие. какое-то соответствующее (обычно ложное или абсурдное) утверждение.

В чистой математике абсурдно истинные утверждения обычно не представляют интереса сами по себе, но они часто возникают в качестве базового случая доказательств с помощью математической индукции . ^[5] Это понятие имеет отношение к чистой математике , а также к любой другой области, использующей классическую логику .

За пределами математики утверждения, которые неформально можно охарактеризовать как бессмысленно истинные, могут вводить в заблуждение. Такие утверждения делают разумные утверждения о квалифицированных объектах, которые на самом деле не существуют . Например, ребенок может честно сказать своему родителю: «Я съел все овощи на своей тарелке», хотя на тарелке ребенка с самого начала не было овощей. В этом случае родитель может поверить, что ребенок действительно съел овощи, хотя это неправда. Кроме того, пустая истина часто используется в разговорной речи с абсурдными утверждениями либо для уверенного утверждения чего-либо (например, «собака была рыжая, или я дядя обезьяны», чтобы решительно заявить, что собака была рыжей), либо для выражения сомнения. сарказм, недоверие, недоверие или негодование (например, «да, и я король Англии», чтобы не согласиться с ранее сделанным утверждением).

Объем концепции

Утверждение является «пусто истинным», если оно напоминает материальное условное утверждение , антецедент которого известен как ложный. ^{[1] [3] [2]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$

К бессодержательным истинным утверждениям, которые можно привести ( с помощью соответствующих преобразований ) к этой базовой форме (материальному условному), относятся следующие универсально квантифицированные утверждения:

• ${\displaystyle \forall x:P(x)\Rightarrow Q(x)}$, где это так . ^[4] ${\displaystyle \forall x:\neg P(x)}$
• ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$, где множество пусто . ${\displaystyle A}$
  • Эту логическую форму можно преобразовать в материальную условную форму, чтобы легко выявить антецедент . В приведенном выше примере «все сотовые телефоны в комнате выключены» формально можно записать так: где находится набор всех мобильных телефонов в комнате и « выключено». Это можно записать в материальное условное выражение , где — набор всех вещей в комнате (включая сотовые телефоны, если они есть в комнате), антецедент — « это сотовый телефон», а консеквент — « выключено». . ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \forall x\in B:P(x)\Rightarrow Q(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \forall \xi :Q(\xi )}$, где символ ограничен типом , не имеющим представителей. ${\displaystyle \xi }$

Пустые истины чаще всего появляются в классической логике с двумя значениями истинности . Однако пустые истины могут появиться и, например, в интуиционистской логике , в тех же ситуациях, что приведены выше. Действительно, если оно ложно, то это приведет к пустой истине в любой логике, использующей материальное условное выражение ; если это необходимая ложь , то она также приведет к пустой истине при строгом условии . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ ${\displaystyle P}$

Другие неклассические логики, такие как логика релевантности , могут пытаться избежать пустых истин, используя альтернативные кондиционалы (например, в случае контрфактического кондиционала ).

В компьютерном программировании

Во многих средах программирования имеется механизм запроса, удовлетворяет ли каждый элемент в коллекции некоторым предикатам. Обычно такой запрос всегда оценивается как истинный для пустой коллекции. Например:

• В JavaScript метод массиваevery выполняет предоставленную функцию обратного вызова один раз для каждого элемента, присутствующего в массиве, останавливаясь только (если и когда) находит элемент, для которого функция обратного вызова возвращает false . Примечательно, что вызов everyметода для пустого массива вернет true для любого условия. ^[6]
• В Python функция allвозвращает значение , Trueесли все элементы данной итерации являются True. Функция также возвращает значение True, если задана итерация нулевой длины. ^[7]
• В Rust функция Iterator::allпринимает итератор и предикат и возвращает результат trueтолько тогда, когда предикат возвращает trueвсе элементы, созданные итератором, или если итератор не создает элементов. ^[8]

Примеры

Эти примеры, один из математики , другой из естественного языка , иллюстрируют концепцию пустых истин:

• «Для любого целого числа x , если x > 5 , то x > 3 ». ^[9] – Это утверждение верно не безосновательно (поскольку некоторые целые числа действительно больше 5), но некоторые из его последствий верны только в несущественном смысле: например, когда x является целым числом 2, утверждение подразумевает пустую истину, что « если 2 > 5 , то 2 > 3 ".
• «Все мои дети — козлы» — пустая истина, когда ее произносит человек, не имеющий детей. Точно так же фраза «Ни один из моих детей не козел» также будет пустой истиной, если ее произнесет один и тот же человек.

Смотрите также

• Определенное описание
• Законы де Моргана – в частности, закон, согласно которому универсальное утверждение истинно только в том случае, если не существует контрпримера: ${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg \exists x\,\neg P(x)}$
• Пустая сумма и пустой продукт
• Пустая функция
• Парадоксы материальной подоплеки , особенно принцип взрыва.
• Предпосылка , двойной вопрос
• Положение дел (философия)
• Тавтология (логика) – еще один тип истинного утверждения, которое также не несет никакой существенной информации.
• Тривиальность (математика) и вырождение (математика)

Рекомендации

1. «Бессмысленная правда». web.cse.ohio-state.edu . Проверено 15 декабря 2019 г.
2. «Бессмысленная правда - вики CS2800» . курсы.cs.cornell.edu . Проверено 15 декабря 2019 г.
3. «Определение: Пустая истина - ProofWiki». prowiki.org . Проверено 15 декабря 2019 г.
4. Эдвардс, CH (18 января 1998 г.). «Бессмысленная правда» (PDF) . swarthmore.edu . Проверено 14 декабря 2019 г.
5. Болдуин, Дуглас Л.; Скрэгг, Грег В. (2011), Алгоритмы и структуры данных: наука о вычислениях, Cengage Learning, стр. 261, ISBN 978-1-285-22512-8
6. "Array.prototype.every() - JavaScript | MDN" . http://developer.mozilla.org .
7. «Встроенные функции – документация Python 3.10.2» . docs.python.org .
8. «Итератор в std::iter – Rust». doc.rust-lang.org .
9. «логика - Что такое пустая истина?». Математический обмен стеками .

Библиография

• Блэкберн, Саймон (1994). «пустой», Оксфордский философский словарь . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, стр. 388.
• Дэвид Х. Сэнфорд (1999). "импликация". Кембриджский философский словарь , 2-е место. ред., с. 420.
• Пиво, Илан; Бен-Давид, Шохам; Эйснер, Синди; Роде, Йоав (1997). «Эффективное обнаружение вакуума в формулах ACTL». Компьютерная проверка: 9-я Международная конференция, CAV'97, Хайфа, Израиль, 22–25 июня 1997 г., Материалы. Конспекты лекций по информатике . Том. 1254. стр. 279–290. дои : 10.1007/3-540-63166-6_28 . ISBN 978-3-540-63166-8.

Внешние ссылки

• Условные утверждения: пустая истина