Пятиугольная пирамида

Пирамида с пятиугольным основанием

В геометрии , пятиугольная пирамида - это пирамида с пятиугольным основанием и пятью треугольными гранями, имеющая в общей сложности шесть граней. Она классифицируется как тело Джонсона, если все ребра имеют одинаковую длину, образуя равносторонние треугольные грани и правильное пятиугольное основание. Пятиугольная пирамида может быть найдена во многих многогранниках, включая их конструкции. Она также встречается в стереохимии в пятиугольной пирамидальной молекулярной геометрии .

Характеристики

Пятиугольная пирамида имеет шесть вершин, десять ребер и шесть граней. Одна из ее граней — пентагон , основание пирамиды; пять других — треугольники . ^[2] Пять ребер образуют пентагон, соединяя его пять вершин, а другие пять ребер известны как боковые ребра пирамиды, встречающиеся в шестой вершине, называемой вершиной . [ ^3] Пятиугольная пирамида называется правильной, если ее основание описано в окружности, которая образует правильный пентагон , и она называется прямой, если ее высота перпендикулярна центру основания. ^[4]

Как и другие правильные пирамиды с правильным многоугольником в качестве основания, эта пирамида имеет пирамидальную симметрию циклической группы : пирамида остается инвариантной при поворотах на один, два, три и четыре за пять полных оборотов вокруг своей оси симметрии , линии, соединяющей вершину с центром основания. Она также зеркально симметрична относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису основания. ^[1] Ее можно представить как граф колеса , то есть ее скелет можно интерпретировать как пятиугольник, в котором ее пять вершин соединяют вершину в центре, называемую универсальной вершиной . ^[5] Она самодвойственна , то есть ее двойственный многогранник является самой пятиугольной пирамидой. ^[6] ${\displaystyle C_{5\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle W_{5}}$

3D модель пятиугольной пирамиды

Когда все ребра равны по длине, пять треугольных граней равносторонние , а основание представляет собой правильный пятиугольник. Поскольку эта пирамида остается выпуклой и все ее грани являются правильными многоугольниками , она классифицируется как второе тело Джонсона . ^[7] Двугранный угол между двумя соседними треугольными гранями составляет приблизительно 138,19°, а между треугольной гранью и основанием — 37,37°. ^[1] Это элементарные многогранники , то есть их нельзя разделить плоскостью, чтобы создать два небольших выпуклых многогранника с правильными гранями. ^[8] Учитывая, что — длина всех ребер пятиугольной пирамиды. Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей его граней. Следовательно, площадь поверхности пятиугольной пирамиды равна сумме четырех треугольников и площади одного пятиугольника. Объем каждой пирамиды равен одной трети площади ее основания, умноженной на ее высоту. То есть объем пятиугольной пирамиды составляет одну треть произведения высоты и площади пятиугольной пирамиды. ^[9] В случае тела Джонсона с длиной ребра его площадь поверхности и объем равны: ^[10] ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\approx 3.88554a^{2},\\V&={\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}a^{3}\approx 0.30150a^{3}.\end{aligned}}}$$

Приложения

Пятиугольные пирамиды можно найти в малом звездчатом додекаэдре.

Пятиугольные пирамиды можно найти в качестве компонентов многих многогранников. Присоединение его основания к пятиугольной грани другого многогранника является примером процесса построения, известного как аугментация , а присоединение его к призмам или антипризмам известно как удлинение или гироудлинение , соответственно. ^[11] Примерами многогранников являются пентакисдодекаэдр , построенный из додекаэдра путем присоединения оснований пятиугольных пирамид к каждой пятиугольной грани, малый звездчатый додекаэдр, построенный из правильного додекаэдра, звездчатого пятиугольными пирамидами, и правильный икосаэдр, построенный из пятиугольной антипризмы путем присоединения двух пятиугольных пирамид к ее пятиугольным основаниям. ^[12] Некоторые тела Джонсона построены либо путем увеличения пятиугольных пирамид, либо путем увеличения других форм с помощью пятиугольных пирамид : удлиненная ^{пятиугольная пирамида} , гироудлиненная пятиугольная пирамида , пятиугольная бипирамида , удлиненная пятиугольная бипирамида , увеличенный додекаэдр , парабиадиаб ... ${\displaystyle J_{9}}$ ${\displaystyle J_{11}}$ ${\displaystyle J_{13}}$ ${\displaystyle J_{16}}$ ${\displaystyle J_{58}}$ ${\displaystyle J_{59}}$ ${\displaystyle J_{60}}$ ${\displaystyle J_{61}}$ ${\displaystyle J_{62}}$ ${\displaystyle J_{63}}$

В стереохимии кластер атомов может иметь пятиугольную пирамидальную геометрию . Эта молекула имеет элемент основной группы с одной активной неподеленной парой, которая может быть описана моделью, предсказывающей геометрию молекул, известной как теория VSEPR . ^[15] Примером молекулы с такой структурой является нидо -каркасный карбонат CB ₅ H ₉ . ^[16]

Ссылки

Примечания

1. Джонсон (1966).
2. • Болл и Коксетер (1987), стр. 130
   • Гргич и др. (2022), стр. 476
3. Смит (2000), стр. 98.
4. • Кальтер и Кальтер (2011), стр. 198
   • Поля (1954), стр. 138
5. Пизански и Серватиус (2013), с. 21.
6. Воллебен (2019), с. 485–486.
7. Уэхара (2020), стр. 62.
8. • Хартшорн (2000), стр. 464
   • Джонсон (1966)
9. Кальтер и Кальтер (2011), стр. 198.
10. Берман (1971).
11. Слободан, Обрадович и Джуканович (2015).
12. • Чолак и Гелишген (2015)
    • Каппрафф (2001), стр. 309
    • Сильвестр (2001), стр. 140–141
13. Раджваде (2001), стр. 84–88. См. Таблицу 12.3, где обозначает -гранную призму, а обозначает -гранную антипризму. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$
14. Гайлюнас (2001).
15. Петруччи, Харвуд и Херринг (2002), стр. 414.
16. Макартни (2017), стр. 482.

Цитируемые работы

• Болл, WWR; Коксетер, HSM (1987). Математические развлечения и эссе. Dover Publications. ISBN 978-0-486-25357-2.
• Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
• Calter, Paul A.; Calter, Michael A. (2011). Техническая математика. John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-53492-2.
• Чолак, Зейнеп; Гелишген, Озкан (2015). «Новые метрики для дельтовидного гексаконтаэдра и пентакис додекаэдра». Научный журнал Университета Сакарья . 19 (3): 353–360. doi : 10.16984/saufenbilder.03497.
• Гайлюнас, Павел (2001). «Многогранный переулок» (PDF) . В Сарханги, Реза; Джаблан, Славик (ред.). Мосты: математические связи в искусстве, музыке и науке (Диссертация). Конференция по мостам. стр. 115–122.
• Гргич, Иван; Каракашич, Мирко; Ивандич, Желько; Главаш, Хрвое (2022). «Сохранение знаний о проектировании начертательной геометрии». В Главаше, Хрвое; Хадзима-Ньярко, Марияна; Каракашич, Мирко; Адемович, Найда; Авдакович, Самир (ред.). 30-я Международная конференция по организации и технологии технического обслуживания (ОТО 2021): Материалы 30-й Международной конференции по организации и технологии технического обслуживания (ОТО 2021) . Международная конференция по организации и технологии технического обслуживания. дои : 10.1007/978-3-030-92851-3.
• Hartshorne, Robin (2000). Геометрия: Евклид и далее. Бакалаврские тексты по математике. Springer-Verlag. ISBN 9780387986500.
• Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
• Каппрафф, Джей (2001). Связи: геометрический мост между искусством и наукой (2-е изд.). World Scientific . ISBN 981-02-4585-8.
• Macartney, DH (2017). «Cucurbiturils in Drug Binding and Delivery». В Gokel, George W.; Barbour, Leonard J. (ред.). Comprehensive Supramolecular Chemistry II. Elsevier. ISBN 978-0-12-803198-8.
• Петруччи, Ральф Х.; Харвуд, Уильям С.; Херринг, Ф. Джеффри (2002). Общая химия: принципы и современные приложения. Том 1. Prentice Hall . ISBN 9780130143297.
• Писански, Томаж; Серватиус, Бригитте (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Springer. doi :10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
• Полиа, Г. (1954). Математика и правдоподобное рассуждение: Индукция и аналогия в математике. Princeton University Press. ISBN 0-691-02509-6.
• Rajwade, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
• Сильвестр, Джон Р. (2001). Геометрия: древняя и современная . Издательство Оксфордского университета.
• Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
• Смит, Джеймс Т. (2000). Методы геометрии. John Wiley & Sons . ISBN 0-471-25183-6.
• Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Springer. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5.
• Wohlleben, Eva (2019). "Duality in Non-Polyhedral Bodies Part I: Polyliner". В Cocchiarella, Luigi (ред.). ICGG 2018 - Труды 18-й Международной конференции по геометрии и графике: 40-я годовщина - Милан, Италия, 3-7 августа 2018 г. Международная конференция по геометрии и графике. Springer. doi : 10.1007/978-3-319-95588-9. ISBN 978-3-319-95588-9.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Пятиугольная пирамида» («тело Джонсона») на MathWorld .
• Многогранники виртуальной реальности www.georgehart.com: Энциклопедия многогранников ( модель VRML )