Проблема моментов Стилтьеса

В математике проблема моментов Стилтьеса , названная в честь Томаса Джоаннеса Стилтьеса , ищет необходимые и достаточные условия для того, чтобы последовательность ( m 0 _, m 1 _, m 2 _, ...) имела вид

${\displaystyle m_{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$

для некоторой меры μ . Если такая функция μ существует, то возникает вопрос, является ли она единственной.

Существенное отличие этой проблемы моментов от других известных состоит в том, что она рассматривается на полупрямой [0, ∞), тогда как в проблеме моментов Хаусдорфа рассматривается ограниченный интервал [0, 1], а в проблеме моментов Гамбургера рассматривается вся прямая (−∞, ∞).

Существование

Позволять

${\displaystyle \Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right]}$

быть матрицей Ганкеля , и

${\displaystyle \Delta _{n}^{(1)}=\left[{\begin{matrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{matrix}}\right].}$

Тогда {  m _n  :  n  = 1, 2, 3, ... } является последовательностью моментов некоторой меры на с бесконечным носителем тогда и только тогда, когда для всех n , оба ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0.}$

{  m _n  :  n  = 1, 2, 3, ... } является последовательностью моментов некоторой меры на с конечным носителем размера m тогда и только тогда, когда для всех , как ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle n\leq m}$

${\displaystyle \det(\Delta _{n})>0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)>0}$

и для всех больших ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \det(\Delta _{n})=0\ \mathrm {and} \ \det \left(\Delta _{n}^{(1)}\right)=0.}$

Уникальность

Существует несколько достаточных условий единственности, например, условие Карлемана , которое гласит, что решение единственно, если

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}m_{n}^{-1/(2n)}=\infty ~.}$

Ссылки

• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Анализ Фурье, Самосопряженность , Методы современной математической физики, т. 2, Academic Press, стр. 341 (упражнение 25), ISBN 0-12-585002-6