stringtranslate.com

Статья Гротендика в Тохоку

Статья " Sur quelques points d'algèbre homologique " Александра Гротендика [1] , теперь часто называемая статьей Тохоку [ 2] , была опубликована в 1957 году в журнале Tôhoku Mathematical Journal . Она произвела революцию в области гомологической алгебры , чисто алгебраического аспекта алгебраической топологии [3] . Она устранила необходимость различать случаи модулей над кольцом и пучков абелевых групп над топологическим пространством [4] .

Фон

Материал в статье относится к году обучения Гротендика в Университете Канзаса в 1955–1956 годах. Исследования там позволили ему поставить гомологическую алгебру на аксиоматическую основу, введя концепцию абелевой категории . [5] [6]

Учебник по гомологической алгебре «Картан–Эйленберг» по именам авторов Анри Картана и Самуэля Эйленберга появился в 1956 году. Работа Гротендика была в значительной степени независима от нее. Его концепция абелевой категории была, по крайней мере, частично предвосхищена другими. [7] Дэвид Буксбаум в своей докторской диссертации, написанной под руководством Эйленберга, ввел понятие « точной категории », близкое к концепции абелевой категории (требующей только тождественности прямых сумм ); и сформулировал идею « достаточного количества инъективов ». [8] Статья Тохоку содержит аргумент, доказывающий, что категория Гротендика (частный тип абелевой категории, название появилось позже) имеет достаточно инъективов; автор указал, что доказательство было стандартного типа. [9] Показав таким образом, что категории пучков абелевых групп допускают инъективные резолюции , Гротендик вышел за рамки теории, доступной Картану–Эйленбергу, и доказал существование теории когомологий в общности. [10]

Дальнейшие события

После теоремы Габриэля–Попеску 1964 года стало известно, что каждая категория Гротендика является факторкатегорией модульной категории . [ 11]

В статье Тохоку также была представлена ​​спектральная последовательность Гротендика , связанная с композицией производных функторов . [12] В ходе дальнейшего пересмотра основ гомологической алгебры Гротендик ввел и развил совместно с Жаном-Луи Вердье концепцию производной категории . [13] Первоначальная мотивация, как было объявлено Гротендиком на Международном конгрессе математиков 1958 года , состояла в том, чтобы сформулировать результаты о когерентной двойственности , которая теперь известна под названием «двойственность Гротендика». [14]

Примечания

  1. ^ Гротендик, А. (1957), "Sur quelques point d'algèbre homologique", Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , MR  0102537. Перевод на английский язык.
  2. ^ Шлагер, Нил; Лауэр, Джош (2000), Наука и ее время: 1950-настоящее время. Том 7 Наука и ее время: понимание социальной значимости научного открытия, Gale Group, стр. 251, ISBN 9780787639396.
  3. ^ Суён Чан (2011). Академическая генеалогия математиков. World Scientific. стр. 115. ISBN 978-981-4282-29-1.
  4. ^ Жан-Поль Пьер (1 января 2000 г.). Развитие математики 1950-2000 гг. Springer Science & Business Media. стр. 715. ISBN 978-3-7643-6280-5.
  5. ^ Пьер Картье; Люк Иллюзи; Николас М. Кац; Жерар Ломон; Юрий Иванович Манин (22 декабря 2006 г.). The Grothendieck Festschrift, Volume I: Сборник статей, написанных в честь 60-летия Александра Гротендика. Springer Science & Business Media. п. VII. ISBN 978-0-8176-4566-3.
  6. ^ Петр Прагач (6 апреля 2005 г.). Темы когомологических исследований алгебраических многообразий: конспект лекций Импанги. Springer Science & Business Media. п. xiv–xv. ISBN 978-3-7643-7214-9.
  7. ^ "Tohoku in nLab" . Получено 2 декабря 2014 г.
  8. ^ IM James (24 августа 1999 г.). История топологии. Elsevier. стр. 815. ISBN 978-0-08-053407-7.
  9. ^ Амнон Ниман (январь 2001). Триангулированные категории. Princeton University Press. стр. 19. ISBN 0-691-08686-9.
  10. ^ Джандоменико Сика (1 января 2006 г.). Что такое теория категорий? Polimetrica sas, стр. 236–7. ISBN 978-88-7699-031-1.
  11. ^ "Категория Гротендика - Энциклопедия математики" . Получено 2 декабря 2014 г. .
  12. ↑ Чарльз А. Вайбель (27 октября 1995 г.). Введение в гомологическую алгебру. Cambridge University Press. стр. 150. ISBN 978-0-521-55987-4.
  13. ^ Рави Вакил (2005). Лекции Snowbird по алгебраической геометрии: Труды совместной летней исследовательской конференции AMS-IMS-SIAM по алгебраической геометрии: Презентации молодых исследователей, 4-8 июля 2004 г. Американское математическое общество. С. 44–5. ISBN 978-0-8218-5720-5.
  14. ^ Амнон Ниман, «Производные категории и двойственность Гротендика», стр. 7

Внешние ссылки