Механическое равновесие

Объект, покоящийся на поверхности, и соответствующая диаграмма свободного тела, показывающая силы, действующие на объект. Нормальная сила N равна, противоположна и коллинеарна силе тяжести *mg,* поэтому чистая сила и момент равны нулю. Следовательно, объект находится в состоянии статического механического равновесия.

В классической механике частица находится в механическом равновесии , если результирующая сила, действующая на эту частицу, равна нулю. ^[1]^{: 39} В более широком смысле, физическая система, состоящая из многих частей, находится в механическом равновесии, если результирующая сила, действующая на каждую из ее отдельных частей, равна нулю. ^[1]^{: 45–46}^[2]

Помимо определения механического равновесия через силу, существует множество альтернативных определений механического равновесия, все из которых математически эквивалентны.

С точки зрения импульса система находится в равновесии, если импульс всех ее частей постоянен.
С точки зрения скорости система находится в равновесии, если скорость постоянна. * При вращательном механическом равновесии момент импульса объекта сохраняется, а чистый крутящий момент равен нулю. ^[2]

В более общем смысле в консервативных системах равновесие устанавливается в точке конфигурационного пространства , где градиент потенциальной энергии относительно обобщенных координат равен нулю.

Если частица в равновесии имеет нулевую скорость, то эта частица находится в статическом равновесии.. ^[3]^[4] Поскольку все частицы в равновесии имеют постоянную скорость, всегда можно найти инерциальную систему отсчета , в которой частица неподвижна относительно системы.

Стабильность

Важным свойством систем, находящихся в механическом равновесии, является их устойчивость .

Тест на стабильность потенциальной энергии

В функции, описывающей потенциальную энергию системы, равновесия системы можно определить с помощью исчисления . Система находится в механическом равновесии в критических точках функции, описывающей потенциальную энергию системы. Эти точки можно найти, используя тот факт, что производная функции равна нулю в этих точках. Чтобы определить, является ли система устойчивой или неустойчивой, применяется тест второй производной . Обозначив статическое уравнение движения системы с одной степенью свободы, можно выполнить следующие вычисления: $V$

Вторая производная < 0: Потенциальная энергия находится на локальном максимуме, что означает, что система находится в неустойчивом равновесном состоянии. Если система смещена на произвольно малое расстояние от равновесного состояния, силы системы заставят ее сместиться еще дальше.

Вторая производная > 0: Потенциальная энергия находится в локальном минимуме. Это устойчивое равновесие. Ответом на небольшое возмущение являются силы, которые стремятся восстановить равновесие. Если для системы возможно более одного устойчивого равновесного состояния, любые равновесия, потенциальная энергия которых выше абсолютного минимума, представляют собой метастабильные состояния.

Вторая производная = 0: Состояние нейтрально к низшему порядку и почти остается в равновесии, если смещено на небольшую величину. Чтобы исследовать точную устойчивость системы, можно исследовать производные более высокого порядка . Состояние нестабильно, если низшая ненулевая производная имеет нечетный порядок или имеет отрицательное значение, стабильно, если низшая ненулевая производная имеет как четный порядок, так и положительное значение. Если все производные равны нулю, то невозможно вывести какие-либо выводы только из производных. Например, функция (определенная как 0 при x=0) имеет все производные, равные нулю. В то же время эта функция имеет локальный минимум при x=0, поэтому она является устойчивым равновесием. Если эту функцию умножить на функцию Sign , все производные по-прежнему будут равны нулю, но она станет неустойчивым равновесием. $е^{-1/x^{2}}$

Схема шара, находящегося в нейтральном равновесии.

Функция локально постоянна.: В истинно нейтральном состоянии энергия не меняется, а состояние равновесия имеет конечную ширину. Иногда это состояние называют состоянием, которое является предельно стабильным, или в состоянии безразличия, или нестабильного равновесия.

При рассмотрении более чем одного измерения можно получить разные результаты в разных направлениях, например, устойчивость относительно смещений в направлении x , но неустойчивость в направлении y , случай, известный как седловая точка . Обычно равновесие называют устойчивым, только если оно устойчиво во всех направлениях.

Статически неопределимая система

Иногда уравнения равновесия – условия равновесия сил и моментов – недостаточны для определения сил и реакций . Такая ситуация описывается как статически неопределимая .

Статически неопределенные ситуации часто можно разрешить, используя информацию, выходящую за рамки стандартных уравнений равновесия.

Примеры

Неподвижный объект (или набор объектов) находится в «статическом равновесии», что является частным случаем механического равновесия. Пресс-папье на столе является примером статического равновесия. Другие примеры включают скульптуру баланса камня или стопку блоков в игре Дженга , пока скульптура или стопка блоков не находится в состоянии разрушения .

Движущиеся объекты также могут находиться в равновесии. Ребенок, скатывающийся с горки с постоянной скоростью, будет находиться в механическом равновесии, но не в статическом равновесии (в системе отсчета Земли или горки).

Другим примером механического равновесия является человек, прижимающий пружину к определенной точке. Он или она может прижать ее к произвольной точке и удерживать ее там, в этой точке сжимающая нагрузка и реакция пружины равны. В этом состоянии система находится в механическом равновесии. Когда сжимающая сила снимается, пружина возвращается в исходное состояние.

Особый интерес представляет минимальное число статических равновесий однородных выпуклых тел (при их покое под действием силы тяжести на горизонтальной поверхности). В плоском случае минимальное число равно 4, тогда как в трех измерениях можно построить объект всего с одной устойчивой и одной неустойчивой точкой равновесия. ^[5] Такой объект называется гембёк .

Смотрите также

Примечания и ссылки

^ ab Джон Л. Синг и Байрон А. Гриффит (1949). Принципы механики (2-е изд.). McGraw-Hill.
^ ab Beer FP, Johnston ER, Mazurek DF, Cornell PJ и Eisenberg ER (2009). Векторная механика для инженеров: статика и динамика (9-е изд.). McGraw-Hill. стр. 158.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Герберт Чарльз Корбен и Филип Стеле (1994). Классическая механика (переиздание второго издания 1960 года). Courier Dover Publications. стр. 113. ISBN 0-486-68063-0.
^ Лакшмана К. Рао; Дж. Лакшминарасимхан; Раджу Сетураман; Шринивасан М. Сивакумар (2004). Инженерная механика. PHI Learning Pvt. ООО с. 6. ISBN 81-203-2189-8.
^ "Математика". Gömböc . 2021 . Получено 12 ноября 2023 .

Дальнейшее чтение

Мэрион Дж. Б. и Торнтон СТ. (1995) Классическая динамика частиц и систем. Четвертое издание, Harcourt Brace & Company.