Закон параллелограмма

Сумма квадратов четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов двух диагоналей.

Стороны параллелограмма ABCD показаны синим цветом, а диагонали красным. Сумма площадей синих квадратов равна сумме площадей красных.

В математике простейшая форма закона параллелограмма (называемая также тождеством параллелограмма ) принадлежит элементарной геометрии . Он гласит, что сумма квадратов длин четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин двух диагоналей. Для сторон мы используем следующие обозначения: AB , BC , CD , DA . Но поскольку в евклидовой геометрии противоположные стороны параллелограмма обязательно равны, то есть AB = CD и BC = DA , закон можно сформулировать как

$${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}$$

Если параллелограмм — прямоугольник , то две диагонали имеют одинаковую длину AC = BD , поэтому

$${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}$$

теореме Пифагорачетырехугольника

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}$$

соединяющегодиагоналей ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$

Доказательство

В параллелограмме справа пусть AD = BC = a , AB = DC = b . Используя закон косинусов в треугольнике , получаем: ${\displaystyle \angle BAD=\alpha .}$ ${\displaystyle \triangle BAD,}$

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.}$$

В параллелограмме смежные углы являются дополнительными , поэтому , используя закон косинусов в треугольнике, получаем: ${\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha .}$ ${\displaystyle \triangle ADC,}$

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.}$$

Применение тригонометрического тождества к первому результату доказывает: ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.}$$

Теперь сумму квадратов можно выразить как: ${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$

$${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).}$$

Упрощая это выражение, оно становится:

$${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}$$

Закон параллелограмма в пространствах внутренних произведений

Векторы, участвующие в законе параллелограмма.

В нормированном пространстве формулировка закона параллелограмма представляет собой уравнение, связывающее нормы :

$${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}$$

Закон параллелограмма эквивалентен, казалось бы, более слабому утверждению:

$${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y}$$

${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}$ ${\displaystyle y,}$

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}$$

В пространстве внутреннего продукта норма определяется с использованием внутреннего продукта :

$${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}$$

Как следствие этого определения, в пространстве внутреннего продукта закон параллелограмма представляет собой алгебраическое тождество, легко устанавливаемое с использованием свойств внутреннего продукта:

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}$$

$${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

Добавляем эти два выражения:

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}$$

Если ортогонален по смыслу , и приведенное выше уравнение нормы суммы принимает вид: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0,}$

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}$$

теоремой Пифагора

Нормированные векторные пространства, удовлетворяющие закону параллелограмма.

Большинство реальных и комплексных нормированных векторных пространств не имеют скалярных произведений, но все нормированные векторные пространства имеют нормы (по определению). Например, обычно используемая норма для вектора в реальном координатном пространстве — это -norm : ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

Учитывая норму, можно оценить обе стороны закона параллелограмма, приведенного выше. Примечателен тот факт, что если справедлив закон параллелограмма, то норма должна возникнуть обычным образом из некоторого скалярного произведения. В частности, оно справедливо для -нормы тогда и только тогда, когда соблюдена так называемая евклидова норма или стандартная норма. ^{[1] [2]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2,}$

Для любой нормы, удовлетворяющей закону параллелограмма (который обязательно является нормой внутреннего продукта), внутренний продукт, порождающий норму, уникален вследствие идентичности поляризации . В реальном случае тождество поляризации определяется выражением:

$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},}$$

$${\displaystyle {\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\qquad {\text{ or }}\qquad {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.}$$

В сложном случае это выражается так:

$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.}$$

Например, использование -нормы с действительными векторами и вычисление внутреннего продукта происходит следующим образом: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\[4mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}$$

скалярным произведением

Другим необходимым и достаточным условием существования скалярного продукта, индуцирующего данную норму, является то, чтобы норма удовлетворяла неравенству Птолемея : ^[3] ${\displaystyle \|\cdot \|}$

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$

Смотрите также

• Коммутативное свойство  - свойство некоторых математических операций.
• Франсуа Давие  – итальянский математик и военный офицер (1734–1798).
• Внутреннее пространство продукта  – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств
• Расстояние Минковского  - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Нормированное векторное пространство  - векторное пространство, в котором определено расстояние.
• Поляризационная идентичность  - формула, связывающая норму и внутренний продукт в пространстве внутреннего продукта.
• Неравенство Птолемея

Рекомендации

1. Кантрелл, Сайрус Д. (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров. Издательство Кембриджского университета. п. 535. ИСБН 0-521-59827-3. если p  ≠ 2, не существует такого скалярного продукта, поскольку p -норма нарушает закон параллелограмма. ${\textstyle {\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}}$
2. Сакс, Карен (2002). Начало функционального анализа. Спрингер. п. 10. ISBN 0-387-95224-1.
3. Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордальная метрика». Журнал «Математика» . 40 (5): 233–235. дои : 10.2307/2688275. JSTOR  2688275.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Закон параллелограмма». Математический мир .
• Закон параллелограмма просто доказан в блоге Dreamshire
• Закон параллелограмма: доказательство без слов в самом разгаре