Равномерная непрерывность

Равномерное ограничение изменения функций

Поскольку центр синего окна с реальной высотой и реальной шириной перемещается по графику в направлении , наступает точка, в которой график проникает во внутреннюю часть верхней и/или нижней части этого окна. Это означает, что охватывает интервал, больший или равный интервалу, меньшему . Если бы существовало окно, верхняя и/или нижняя часть которого никогда не пересекаются графиком по мере перемещения окна по его области, то ширина этого окна должна быть бесконечно малой (нереальной), что означает, что она не является равномерно непрерывной. Функция , с другой стороны, равномерно непрерывна . ${\displaystyle 2\varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle 2\delta \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$

В математике действительная функция действительных чисел называется равномерно непрерывной , если существует положительное действительное число, такое что значения функции на любом интервале области определения функции размера находятся настолько близко друг к другу, насколько мы хотим. Другими словами, для равномерно непрерывной действительной функции действительных чисел, если мы хотим, чтобы разности значений функции были меньше любого положительного действительного числа , то существует положительное действительное число, такое что при любом и в любом интервале функции размера . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta }$

Разница между равномерной непрерывностью и (обычной) непрерывностью заключается в том, что в равномерной непрерывности существует глобально применимое (размер интервала области определения функции, на котором разность значений функции меньше ), которое зависит только от , тогда как в (обычной) непрерывности существует локально применимое , которое зависит как от , так и . Таким образом, равномерная непрерывность является более сильным условием непрерывности, чем непрерывность; функция, которая равномерно непрерывна, является непрерывной, но функция, которая непрерывна, не обязательно является равномерно непрерывной. Понятия равномерной непрерывности и непрерывности можно расширить до функций, определенных между метрическими пространствами . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$

Непрерывные функции могут не быть равномерно непрерывными, если они неограниченны в ограниченной области, например, на , или если их наклоны становятся неограниченными в бесконечной области, например, на действительной (числовой) прямой. Однако любое липшицево отображение между метрическими пространствами равномерно непрерывно, в частности, любая изометрия (отображение, сохраняющее расстояние). ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

Хотя непрерывность может быть определена для функций между общими топологическими пространствами, определение равномерной непрерывности требует большей структуры. Концепция основана на сравнении размеров окрестностей различных точек, поэтому она требует метрического пространства или, в более общем смысле, равномерного пространства .

Определение функций на метрических пространствах

Для функции с метрическими пространствами и справедливы следующие определения равномерной непрерывности и (обычной) непрерывности. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,d_{1})}$ ${\displaystyle (Y,d_{2})}$

Определение равномерной непрерывности

• ${\displaystyle f}$называется равномерно непрерывным, если для каждого действительного числа существует действительное число такое, что для каждого с , имеем . Множество для каждого является окрестностью , а множество для каждого является окрестностью по определению окрестности в метрическом пространстве . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle \{y\in X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\in X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$
  • Если и являются подмножествами действительной прямой , то и могут быть стандартным одномерным евклидовым расстоянием , что дает следующее определение: для каждого действительного числа существует действительное число такое, что для каждого ( где — материальное условное утверждение, говорящее «если , то »). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle A\implies B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Эквивалентно, называется равномерно непрерывным, если . Здесь используются квантификации ( , , , и ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;\forall y\in X:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$ ${\displaystyle \forall x\in X}$ ${\displaystyle \forall y\in X}$
• Эквивалентно, является равномерно непрерывным, если допускает модуль непрерывности . ${\displaystyle f}$

Определение (обычной) непрерывности

• ${\displaystyle f}$называется непрерывным, если для каждого действительного числа существует действительное число такое, что для каждого с , имеем . Множество является окрестностью . Таким образом, (обычная) непрерывность является локальным свойством функции в точке . ${\displaystyle {\underline {{\text{at }}x}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle \{y\in X:d_{1}(x,y)<\delta \}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Эквивалентно, функция называется непрерывной, если . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall x\in X\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in X:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$
• В качестве альтернативы функция называется непрерывной, если существует функция всех положительных действительных чисел и , представляющая собой максимальное положительное действительное число, такая, что при каждом , если удовлетворяет , то . При каждом , является монотонно неубывающей функцией. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon ,x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta (\varepsilon ,x)}$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon ,x)}$

Локальная непрерывность против глобальной равномерной непрерывности

В определениях разница между равномерной непрерывностью и непрерывностью заключается в том, что в равномерной непрерывности существует глобально применимое (размер окрестности в , над которой значения метрики для значений функции в меньше ), которое зависит только от , тогда как в непрерывности существует локально применимое , которое зависит как от , так и . Непрерывность является локальным свойством функции — то есть функция непрерывна или нет в конкретной точке области действия , и это можно определить, рассматривая только значения функции в произвольно малой окрестности этой точки. Когда мы говорим о функции, являющейся непрерывной на интервале , мы имеем в виду, что функция непрерывна в каждой точке интервала. Напротив, равномерная непрерывность является глобальным свойством , в том смысле, что стандартное определение равномерной непрерывности относится к каждой точке . С другой стороны, можно дать локальное определение в терминах естественного расширения (характеристики которого в нестандартных точках определяются глобальными свойствами ), хотя локальное определение равномерной непрерывности для произвольной гипердействительнозначной функции дать невозможно, см. ниже. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Математическое определение непрерывности функции на интервале и определение равномерной непрерывности функции на структурно схожи, как показано ниже. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

Непрерывность функции для метрических пространств и в каждой точке интервала (т.е. непрерывность на интервале ) выражается формулой, начинающейся с квантификаций ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,d_{1})}$ ${\displaystyle (Y,d_{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I\subseteq X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \forall x\in I\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$,

(метрики и являются и для для набора действительных чисел ). ${\displaystyle d_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))}$ ${\displaystyle |x-y|}$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Для равномерной непрерывности порядок первой, второй и третьей квантификаций ( , , и ) меняется: ${\displaystyle \forall x\in I}$ ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \exists \delta >0}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;\forall y\in I:\,d_{1}(x,y)<\delta \,\Rightarrow \,d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$.

Таким образом, для непрерывности на интервале берется произвольная точка интервала , и тогда должно существовать расстояние , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,}$

в то время как для равномерной непрерывности, один должен работать равномерно для всех точек интервала, ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \cdots \exists \delta \,\forall x\cdots .}$

Характеристики

Каждая равномерно непрерывная функция является непрерывной , но обратное не выполняется. Рассмотрим, например, непрерывную функцию , где есть множество действительных чисел . При наличии положительного действительного числа равномерная непрерывность требует существования положительного действительного числа такого, что для всех с , мы имеем . Но ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$

${\displaystyle f\left(x+\delta \right)-f(x)=2x\cdot \delta +\delta ^{2},}$

и поскольку становится все более и более высоким значением, необходимо быть все ниже и ниже, чтобы удовлетворить для положительных действительных чисел и заданного . Это означает, что не существует определяемого (независимо от того, насколько оно мало) положительного действительного числа , удовлетворяющего условию для того, чтобы быть равномерно непрерывным, поэтому оно не является равномерно непрерывным. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |f(x+\beta )-f(x)|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \beta <\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Любая абсолютно непрерывная функция (на компактном интервале) равномерно непрерывна. С другой стороны, функция Кантора равномерно непрерывна, но не абсолютно непрерывна.

Образ вполне ограниченного подмножества при равномерно непрерывной функции вполне ограничен. Однако образ ограниченного подмножества произвольного метрического пространства при равномерно непрерывной функции не обязательно должен быть ограничен: в качестве контрпримера рассмотрим функцию тождества от целых чисел, снабженных дискретной метрикой , к целым числам, снабженным обычной евклидовой метрикой .

Теорема Гейне–Кантора утверждает, что каждая непрерывная функция на компактном множестве равномерно непрерывна . В частности, если функция непрерывна на замкнутом ограниченном интервале действительной прямой, то она равномерно непрерывна на этом интервале . Интегрируемость по Дарбу непрерывных функций следует почти сразу из этой теоремы.

Если вещественная функция непрерывна на и существует (и конечна), то равномерно непрерывна. В частности, каждый элемент , пространства непрерывных функций на , которые обращаются в нуль на бесконечности, равномерно непрерывен. Это обобщение теоремы Гейне-Кантора, упомянутой выше, поскольку . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )}$

Примеры и не примеры

Примеры

• Линейные функции являются простейшими примерами равномерно непрерывных функций. ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$
• Любая непрерывная функция на интервале также равномерно непрерывна, поскольку — компактное множество. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Если функция дифференцируема на открытом интервале и ее производная ограничена, то функция равномерно непрерывна на этом интервале.
• Всякое непрерывное по Липшицу отображение между двумя метрическими пространствами равномерно непрерывно. В более общем случае, всякая непрерывная по Гёльдеру функция равномерно непрерывна.
• Функция абсолютного значения равномерно непрерывна, несмотря на то, что не дифференцируема при . Это показывает, что равномерно непрерывные функции не всегда дифференцируемы. ${\displaystyle x=0}$
• Несмотря на то, что функция Вейерштрасса нигде не дифференцируема, она равномерно непрерывна.
• Каждый член равномерно равностепенно непрерывного множества функций является равномерно непрерывным.

Нет примеров

• Функции, которые не ограничены в ограниченной области, не являются равномерно непрерывными. Функция тангенса непрерывна на интервале , но не является равномерно непрерывной на этом интервале, поскольку она стремится к бесконечности при . ${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle x\to \pi /2}$
• Функции, производная которых стремится к бесконечности при увеличении, не могут быть равномерно непрерывными. Экспоненциальная функция непрерывна всюду на действительной прямой, но не является равномерно непрерывной на прямой, поскольку ее производная равна , а при . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{x}\to \infty }$ ${\displaystyle x\to \infty }$

Визуализация

Для равномерно непрерывной функции для каждого положительного действительного числа существует положительное действительное число такое, что два значения функции и имеют максимальное расстояние всякий раз, когда и находятся в пределах максимального расстояния . Таким образом, в каждой точке графика, если мы нарисуем прямоугольник с высотой немного меньше и шириной немного меньше вокруг этой точки, то график полностью лежит внутри высоты прямоугольника, т. е. график не проходит через верхнюю или нижнюю сторону прямоугольника. Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, это невозможно; для этих функций график может лежать внутри высоты прямоугольника в некоторой точке на графике, но на графике есть точка, где график лежит выше или ниже прямоугольника. (график проникает через верхнюю или нижнюю сторону прямоугольника.) ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(y)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle 2\delta }$

• 
  Для равномерно непрерывных функций для каждого положительного действительного числа существует положительное действительное число такое, что если нарисовать прямоугольник вокруг каждой точки графика с шириной немного меньше и высотой немного меньше , то график полностью будет лежать внутри высоты прямоугольника. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 2\delta }$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$
• 
  Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, существует положительное действительное число , такое что для каждого положительного действительного числа есть точка на графике, так что когда мы рисуем прямоугольник с высотой немного меньше и шириной немного меньше вокруг этой точки, есть значение функции непосредственно над или под прямоугольником. Может быть точка графика, где график полностью находится внутри высоты прямоугольника, но это не верно для каждой точки графика. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 2\varepsilon }$ ${\displaystyle 2\delta }$

История

Первое опубликованное определение равномерной непрерывности было дано Гейне в 1870 году, а в 1872 году он опубликовал доказательство того, что непрерывная функция на открытом интервале не обязательно должна быть равномерно непрерывной. Доказательства почти дословно даны Дирихле в его лекциях по определенным интегралам в 1854 году. Определение равномерной непрерывности появляется ранее в работе Больцано, где он также доказал, что непрерывные функции на открытом интервале не обязательно должны быть равномерно непрерывными. Кроме того, он также утверждает, что непрерывная функция на замкнутом интервале равномерно непрерывна, но он не дает полного доказательства. ^[1]

Другие характеристики

Нестандартный анализ

В нестандартном анализе действительная функция действительной переменной является микронепрерывной в точке точно, если разность бесконечно мала всякий раз, когда является бесконечно малой. Таким образом, является непрерывной на множестве в точно, если является микронепрерывной в каждой действительной точке . Равномерная непрерывность может быть выражена как условие, что (естественное расширение) является микронепрерывным не только в действительных точках в , но и во всех точках в его нестандартном аналоге (естественном расширении) в . Обратите внимание, что существуют гипердействительнозначные функции, которые удовлетворяют этому критерию, но не являются равномерно непрерывными, а также равномерно непрерывные гипердействительнозначные функции, которые не удовлетворяют этому критерию, однако такие функции не могут быть выражены в виде для любой действительнозначной функции . (см. нестандартное исчисление для получения более подробной информации и примеров). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{*}(a+\delta )-f^{*}(a)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ^{*}A}$ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Непрерывность Коши

Для функции между метрическими пространствами равномерная непрерывность подразумевает непрерывность Коши (Фицпатрик 2006). Более конкретно, пусть будет подмножеством . Если функция равномерно непрерывна, то для каждой пары последовательностей и таких, что ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0}$

у нас есть

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0.}$

Отношения с проблемой расширения

Пусть будет метрическим пространством, подмножеством , полным метрическим пространством и непрерывной функцией. Вопрос для ответа: когда можно расширить до непрерывной функции на всех ? ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:S\rightarrow R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Если замкнуто в , ответ дается теоремой о продолжении Титце . Поэтому необходимо и достаточно продолжить до замыкания в : то есть, мы можем предположить без потери общности, что плотно в , и это имеет еще одно приятное следствие, что если расширение существует, оно единственно. Достаточным условием для продолжения до непрерывной функции является то, что она непрерывна по Коши , то есть изображение под последовательности Коши остается Коши. Если является полным (и, следовательно, завершением ), то каждая непрерывная функция из в метрическое пространство является непрерывна по Коши. Поэтому, когда является полным, продолжается до непрерывной функции тогда и только тогда, когда является непрерывна по Коши. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow R}$ ${\displaystyle f}$

Легко видеть, что каждая равномерно непрерывная функция является непрерывна по Коши и, таким образом, продолжается до . Обратное не верно, поскольку функция , как было показано выше, не является равномерно непрерывной, но она непрерывна и, таким образом, непрерывна по Коши. В общем случае для функций, определенных на неограниченных пространствах, таких как , равномерная непрерывность является довольно сильным условием. Желательно иметь более слабое условие, из которого можно было бы вывести продолжаемость. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle R}$

Например, предположим, что это действительное число. На уровне предвычисления функция может быть определена точно только для рациональных значений (предполагая существование корней q-й степени положительных действительных чисел, применение теоремы о промежуточном значении ). Хотелось бы расширить ее до функции, определенной на всех . Тождество ${\displaystyle a>1}$ ${\displaystyle f:x\mapsto a^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=a^{x}\left(a^{\delta }-1\right)}$

показывает, что не является равномерно непрерывным на множестве всех рациональных чисел; однако для любого ограниченного интервала ограничение на является равномерно непрерывным, следовательно, непрерывным по Коши, следовательно, продолжается до непрерывной функции на . Но поскольку это справедливо для каждого , то существует единственное продолжение до непрерывной функции на всех из . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q\cap I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$

В более общем случае непрерывная функция, ограничение которой на каждое ограниченное подмножество равномерно непрерывно, может быть продолжена до , и обратное утверждение верно, если является локально компактным . ${\displaystyle f:S\rightarrow R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Типичным применением продолжимости равномерно непрерывной функции является доказательство формулы обратного преобразования Фурье . Сначала мы докажем, что формула верна для тестовых функций, их плотно много. Затем мы расширяем обратное отображение на все пространство, используя тот факт, что линейное отображение непрерывно; таким образом, равномерно непрерывно.

Обобщение на топологические векторные пространства

В частном случае двух топологических векторных пространств и понятие равномерной непрерывности отображения принимает вид: для любой окрестности нуля в существует окрестность нуля в такая, что влечет ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A}$ ${\displaystyle f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

Для линейных преобразований равномерная непрерывность эквивалентна непрерывности. Этот факт часто неявно используется в функциональном анализе для расширения линейного отображения с плотного подпространства банахова пространства . ${\displaystyle f:V\to W}$

Обобщение на однородные пространства

Так же как наиболее естественной и общей обстановкой для непрерывности являются топологические пространства , наиболее естественной и общей обстановкой для изучения равномерной непрерывности являются равномерные пространства . Функция между равномерными пространствами называется равномерно непрерывной , если для любого окружения в существует окружение в такое, что для любого в мы имеем в . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (f(x_{1}),f(x_{2}))}$ ${\displaystyle V}$

В этом случае также верно, что равномерно непрерывные отображения преобразуют последовательности Коши в последовательности Коши.

Каждое компактное хаусдорфово пространство обладает ровно одной равномерной структурой, совместимой с топологией. Следствием является обобщение теоремы Гейне-Кантора: каждая непрерывная функция из компактного хаусдорфова пространства в равномерное пространство равномерно непрерывна.

Смотрите также

• Контрационная карта  – функция, уменьшающая расстояние между всеми точками
• Равномерный изоморфизм  – Равномерно непрерывный гомеоморфизм

Ссылки

1. Руснок и Керр-Лоусон 2005.

Дальнейшее чтение

• Бурбаки, Николя (1989). Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Спрингер. ISBN 0-387-19374-X.Глава II представляет собой исчерпывающий справочник по однородным пространствам.
• Дьедонне, Жан (1960). Основы современного анализа . Academic Press.
• Фицпатрик, Патрик (2006). Расширенный анализ . Брукс/Коул. ISBN 0-534-92612-6.
• Келли, Джон Л. (1955). Общая топология . Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], "Равномерная непрерывность", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054235-8.
• Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005), "Больцано и равномерная непрерывность", Historia Mathematica , 32 (3): 303–311, doi :10.1016/j.hm.2004.11.003