Кривая постоянной ширины

Форма с шириной, не зависящей от ориентации

Измерение ширины треугольника Рело как расстояния между параллельными опорными линиями . Поскольку это расстояние не зависит от направления линий, треугольник Рело представляет собой кривую постоянной ширины.

В геометрии кривая постоянной ширины — это простая замкнутая кривая на плоскости , ширина которой (расстояние между параллельными опорными прямыми ) одинакова во всех направлениях. Фигура, ограниченная кривой постоянной ширины, — это тело постоянной ширины или орбиформ , название, данное этим фигурам Леонардом Эйлером . ^[1] Стандартными примерами являются окружность и треугольник Рело . Эти кривые также могут быть построены с использованием дуг окружностей с центрами в точках пересечения линий , как эвольвенты определенных кривых, или с помощью пересекающихся окружностей с центрами на частичной кривой.

Каждое тело постоянной ширины является выпуклым множеством , его граница пересекается не более двух раз любой линией, и если линия пересекает перпендикулярно, то это происходит в обоих пересечениях, разделенных шириной. По теореме Барбье периметр тела равен ровно π, умноженному на его ширину, но его площадь зависит от его формы, причем треугольник Рело имеет наименьшую возможную площадь для своей ширины, а круг — наибольшую. Каждое надмножество тела постоянной ширины включает пары точек, которые находятся дальше друг от друга, чем ширина, и каждая кривая постоянной ширины включает по крайней мере шесть точек экстремальной кривизны. Хотя треугольник Рело не является гладким, кривые постоянной ширины всегда можно сколь угодно точно аппроксимировать гладкими кривыми той же постоянной ширины.

Цилиндры с постоянным поперечным сечением могут использоваться в качестве роликов для поддержки ровной поверхности. Другое применение кривых постоянной ширины — для форм монет , где обычным выбором являются правильные многоугольники Рело . Возможность того, что кривые, отличные от окружностей, могут иметь постоянную ширину, усложняет проверку круглости объекта .

Кривые постоянной ширины были обобщены несколькими способами на более высокие измерения и на неевклидову геометрию .

Определения

Ширина и постоянная ширина определяются в терминах опорных линий кривых; это линии, которые касаются кривой, не пересекая ее. Каждая компактная кривая на плоскости имеет две опорные линии в любом заданном направлении, с кривой, зажатой между ними. Евклидово расстояние между этими двумя линиями является шириной кривой в этом направлении, и кривая имеет постоянную ширину, если это расстояние одинаково для всех направлений линий. Ширина ограниченного выпуклого множества может быть определена так же, как и для кривых, расстоянием между парами параллельных линий, которые касаются множества, не пересекая его, и выпуклое множество является телом постоянной ширины, когда это расстояние не равно нулю и не зависит от направления линий. Каждое тело постоянной ширины имеет кривую постоянной ширины в качестве своей границы, и каждая кривая постоянной ширины имеет тело постоянной ширины в качестве своей выпуклой оболочки . ^{[2] [3]}

Другой эквивалентный способ определения ширины компактной кривой или выпуклого множества — это рассмотрение ее ортогональной проекции на линию. В обоих случаях проекция представляет собой отрезок прямой , длина которого равна расстоянию между опорными линиями, перпендикулярными линии. Таким образом, кривая или выпуклое множество имеет постоянную ширину, когда все ее ортогональные проекции имеют одинаковую длину. ^{[2] [3]}

Примеры

Кривая постоянной ширины, определяемая полиномом 8-й степени.

Круги имеют постоянную ширину, равную их диаметру . С другой стороны, квадраты не имеют: опорные линии, параллельные двум противоположным сторонам квадрата, находятся ближе друг к другу, чем опорные линии, параллельные диагонали. В более общем смысле, ни один многоугольник не может иметь постоянную ширину. Однако существуют и другие формы постоянной ширины. Стандартным примером является треугольник Рело , пересечение трех кругов, каждый из которых центрирован там, где пересекаются два других круга. ^[2] Его граничная кривая состоит из трех дуг этих кругов, встречающихся под углами 120°, поэтому она не является гладкой , и на самом деле эти углы являются самыми острыми из возможных для любой кривой постоянной ширины. ^[3]

Другие кривые постоянной ширины могут быть гладкими, но некруглыми, даже не имеющими никаких дуг окружности на своей границе. Например, нулевое множество полинома ниже образует некруглую гладкую алгебраическую кривую постоянной ширины: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)={}&(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}\\&+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}\\&+x(x^{2}-3y^{2})\left(16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382\right)-720^{3}.\end{aligned}}}$$

Его степень , восемь, является минимально возможной степенью для многочлена, который определяет некруговую кривую постоянной ширины. ^[5]

Конструкции

Неправильный многоугольник Рело

Применение метода скрещенных линий к расположению четырех линий . Границы синего тела постоянной ширины представляют собой дуги окружностей из четырех вложенных пар окружностей (внутренние окружности темно-красные, а внешние окружности светло-красные).

Тело постоянной ширины (желтое), образованное пересекающимися дисками (синие), центрированными на полуэллипсе (черный). Красный круг показывает касательную окружность к опорной линии, в точке минимальной кривизны полуэллипса. Эксцентриситет полуэллипса на рисунке максимально возможный для данной конструкции.

Каждый правильный многоугольник с нечетным числом сторон порождает кривую постоянной ширины, многоугольник Рело , образованный из дуг окружностей с центрами в его вершинах, которые проходят через две вершины, наиболее удаленные от центра. Например, эта конструкция порождает треугольник Рело из равностороннего треугольника. Некоторые неправильные многоугольники также порождают многоугольники Рело. ^{[6] [7]} В тесно связанной конструкции, названной Мартином Гарднером «методом скрещенных линий», расположение линий на плоскости (никаких двух параллельных, но в остальном произвольных) сортируется в циклическом порядке по наклонам линий. Затем линии соединяются кривой, образованной из последовательности дуг окружностей; каждая дуга соединяет две последовательные линии в отсортированном порядке и центрируется на их пересечении. Радиус первой дуги должен быть выбран достаточно большим, чтобы все последующие дуги заканчивались на правильной стороне следующей точки пересечения; однако все достаточно большие радиусы подходят. Для двух линий это образует окружность; для трех линий на сторонах равностороннего треугольника с минимально возможным радиусом он образует треугольник Рёло, а для линий правильного звездчатого многоугольника он может образовать многоугольник Рёло. ^{[2] [6]}

Леонард Эйлер построил кривые постоянной ширины из эвольвент кривых с нечетным числом точек возврата , имеющих только одну касательную линию в каждом направлении (то есть проективные ежи ). ^{[1] [8]} Интуитивный способ описания конструкции эвольвенты — прокатать отрезок прямой вокруг такой кривой, сохраняя его касательным к кривой, не скользя по ней, пока он не вернется в свою начальную точку касания. Отрезок прямой должен быть достаточно длинным, чтобы достичь точек возврата кривой, так чтобы он мог прокатиться мимо каждого возврата к следующей части кривой, и его начальное положение должно быть тщательно выбрано так, чтобы в конце процесса прокатки он оказался в том же положении, с которого начал. Когда это происходит, кривая, вычерченная конечными точками отрезка прямой, является эвольвентой, которая охватывает заданную кривую, не пересекая ее, с постоянной шириной, равной длине отрезка прямой. ^[9] Если начальная кривая гладкая (за исключением точек возврата), результирующая кривая постоянной ширины также будет гладкой. ^{[1] [8]} Примером исходной кривой с правильными свойствами для этой конструкции является дельтовидная кривая , а эвольвенты дельтовидной кривой, которые ее охватывают, образуют гладкие кривые постоянной ширины, не содержащие никаких дуг окружности. ^{[10] [11]}

Другая конструкция выбирает половину кривой постоянной ширины, отвечающую определенным требованиям, и формирует из нее тело постоянной ширины, имеющее заданную кривую как часть своей границы. Конструкция начинается с выпуклой изогнутой дуги, конечные точки которой находятся на предполагаемой ширине . Две конечные точки должны касаться параллельных опорных линий на расстоянии друг от друга. Кроме того, каждая опорная линия, которая касается другой точки дуги, должна быть касательной в этой точке к окружности радиуса, содержащего всю дугу; это требование не позволяет кривизне дуги быть меньше кривизны окружности. Завершенное тело постоянной ширины тогда является пересечением внутренностей бесконечного семейства окружностей двух типов: тех, которые касаются опорных линий, и большего количества окружностей того же радиуса с центром в каждой точке заданной дуги. Эта конструкция универсальна: все кривые постоянной ширины могут быть построены таким образом. ^[3] Виктор Пюизё , французский математик 19-го века, нашёл кривые постоянной ширины, содержащие эллиптические дуги ^[12] , которые можно построить таким образом из полуэллипса . Чтобы соответствовать условию кривизны, полуэллипс должен быть ограничен большой полуосью своего эллипса, а эллипс должен иметь эксцентриситет не более . Эквивалентно, большая полуось должна быть не более чем в два раза больше малой полуоси. ^[6] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$

Если заданы любые два тела постоянной ширины, их сумма Минковского образует другое тело постоянной ширины. ^[13] Обобщение сумм Минковского до сумм опорных функций ежей производит кривую постоянной ширины из суммы проективного ежа и окружности, всякий раз, когда результатом является выпуклая кривая. Все кривые постоянной ширины могут быть разложены в сумму ежей таким образом. ^[14]

Характеристики

Треугольник Рело, катящийся внутри квадрата, в любой момент времени касаясь всех четырех сторон.

Кривая постоянной ширины может вращаться между двумя параллельными линиями, разделенными ее шириной, при этом все время касаясь этих линий, которые действуют как опорные линии для вращаемой кривой. Таким же образом кривая постоянной ширины может вращаться внутри ромба или квадрата, чьи пары противоположных сторон разделены шириной и лежат на параллельных опорных линиях. ^{[2] [6] [3]} Не каждая кривая постоянной ширины может вращаться внутри правильного шестиугольника одинаковым образом, потому что ее опорные линии могут образовывать различные неправильные шестиугольники для различных вращений, а не всегда образовывать правильный. Однако каждая кривая постоянной ширины может быть заключена по крайней мере в один правильный шестиугольник с противоположными сторонами на параллельных опорных линиях. ^[15]

Кривая имеет постоянную ширину тогда и только тогда, когда для каждой пары параллельных опорных линий она касается этих двух линий в точках, расстояние между которыми равно расстоянию между линиями. В частности, это означает, что она может касаться каждой опорной линии только в одной точке. Эквивалентно, каждая линия, пересекающая кривую перпендикулярно, пересекает ее ровно в двух точках на расстоянии, равном ширине. Следовательно, кривая постоянной ширины должна быть выпуклой, поскольку каждая невыпуклая простая замкнутая кривая имеет опорную линию, которая касается ее в двух или более точках. ^{[3] [8]} Кривые постоянной ширины являются примерами самопараллельных или автопараллельных кривых, кривых, прочерченных обеими конечными точками отрезка линии, который движется таким образом, что обе конечные точки движутся перпендикулярно отрезку линии. Однако существуют и другие самопараллельные кривые, такие как бесконечная спираль, образованная эвольвентой окружности, которые не имеют постоянной ширины. ^[16]

Теорема Барбье утверждает, что периметр любой кривой постоянной ширины равен ширине, умноженной на . Как частный случай, эта формула согласуется со стандартной формулой для периметра круга, заданного его диаметром. ^{[17] [18]} По изопериметрическому неравенству и теореме Барбье круг имеет максимальную площадь любой кривой заданной постоянной ширины. Теорема Бляшке–Лебега гласит, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь любой выпуклой кривой заданной постоянной ширины. ^[19] Каждое собственное надмножество тела постоянной ширины имеет строго больший диаметр, и каждое евклидово множество с этим свойством является телом постоянной ширины. В частности, одно тело постоянной ширины не может быть подмножеством другого тела с той же постоянной шириной. ^{[20] [21]} Каждая кривая постоянной ширины может быть сколь угодно точно аппроксимирована кусочно-круговой кривой или аналитической кривой той же постоянной ширины. ^[22] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi d}$

Вершина гладкой кривой — это точка, в которой ее кривизна является локальным максимумом или минимумом; для дуги окружности все точки являются вершинами, но некруговые кривые могут иметь конечный дискретный набор вершин. Для кривой, которая не является гладкой, точки, в которых она не является гладкой, также можно рассматривать как вершины бесконечной кривизны. Для кривой постоянной ширины каждая вершина локально минимальной кривизны сопряжена с вершиной локально максимальной кривизны, противоположной ей на диаметре кривой, и должно быть не менее шести вершин. Это противоречит теореме о четырех вершинах , согласно которой каждая простая замкнутая гладкая кривая на плоскости имеет не менее четырех вершин. Некоторые кривые, такие как эллипсы, имеют ровно четыре вершины, но это невозможно для кривой постоянной ширины. ^{[14] [23]} Поскольку локальные минимумы кривизны противоположны локальным максимумам кривизны, единственными кривыми постоянной ширины с центральной симметрией являются окружности, для которых кривизна одинакова во всех точках. ^[13] Для каждой кривой постоянной ширины минимальная охватывающая окружность кривой и самая большая окружность, которую она содержит, являются концентрическими, а среднее значение их диаметров является шириной кривой. Эти две окружности вместе касаются кривой по крайней мере в трех парах противоположных точек, но эти точки не обязательно являются вершинами. ^[13]

Выпуклое тело имеет постоянную ширину тогда и только тогда, когда сумма Минковского тела и его поворота на 180° представляет собой круговой диск; в таком случае ширина тела равна радиусу диска. ^{[13] [15]}

Приложения

Ролики постоянной ширины

Из-за способности кривых постоянной ширины катиться между параллельными линиями любой цилиндр с кривой постоянной ширины в качестве своего поперечного сечения может действовать как «ролик» , поддерживая ровную плоскость и сохраняя ее плоской при катящемся по любой ровной поверхности. Однако центр ролика движется вверх и вниз при катящемся, поэтому эта конструкция не будет работать для колес такой формы, прикрепленных к фиксированным осям. ^{[2] [6] [3]}

Некоторые формы монет представляют собой некруглые тела постоянной ширины. Например, британские монеты 20 и 50 пенсов представляют собой семиугольники Рёло, а канадский луни представляет собой 11-угольник Рёло. ^[24] Эти формы позволяют автоматизированным монетным автоматам распознавать эти монеты по их ширине, независимо от ориентации монеты в автомате. ^{[2] [6]} С другой стороны, тестирование ширины недостаточно для определения круглости объекта , поскольку такие тесты не могут отличить круги от других кривых постоянной ширины. ^{[2] [6]} Игнорирование этого факта могло сыграть свою роль в катастрофе космического челнока Challenger , поскольку круглость секций ракеты при этом запуске проверялась только путем измерения ширины, а некруглые формы могут вызывать необычно высокие напряжения, которые могли стать одним из факторов, вызвавших катастрофу. ^[25]

Обобщения

Кривые постоянной ширины можно обобщить до некоторых невыпуклых кривых, кривых, которые имеют две касательные линии в каждом направлении, с тем же самым разделением между этими двумя линиями независимо от их направления. В качестве предельного случая проективные ежи (кривые с одной касательной линией в каждом направлении) также были названы «кривыми нулевой ширины». ^[26]

Один из способов обобщения этих концепций на три измерения — через поверхности постоянной ширины . Трехмерный аналог треугольника Рело, тетраэдр Рело , не имеет постоянной ширины, но незначительные изменения в нем производят тела Мейсснера , которые имеют ее. ^{[2] [13]} Кривые постоянной ширины также могут быть обобщены до тел постоянной яркости , трехмерных форм, двумерные проекции которых имеют одинаковую площадь; эти формы подчиняются обобщению теоремы Барбье. ^[13] Другой класс трехмерных обобщений, пространственные кривые постоянной ширины, определяются свойствами, что каждая плоскость, которая пересекает кривую перпендикулярно, пересекает ее ровно в одной другой точке, где она также перпендикулярна, и что все пары точек, пересекаемых перпендикулярными плоскостями, находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. ^{[27] [28] [29] [30]}

Кривые и тела постоянной ширины также изучались в неевклидовой геометрии ^[31] и для неевклидовых нормированных векторных пространств . ^[20]

Смотрите также

• Средняя ширина , ширина кривой, усредненная по всем возможным направлениям.
• Кривая Зиндлера , кривая, в которой все хорды, делящие периметр пополам, имеют одинаковую длину.

Ссылки

1. Эйлер, Леонард (1781). «Де кривис треугольный». Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на латыни). 1778 (II): 3–30.
2. Гарднер, Мартин (1991). "Глава 18: Кривые постоянной ширины". Неожиданное повешение и другие математические развлечения . Издательство Чикагского университета. С. 212–221. ISBN 0-226-28256-2.
3. Радемахер, Ганс ; Теплиц, Отто (1957). «Глава 25: Кривые постоянной ширины». Наслаждение математикой: Избранные материалы из «Математики для любителей» . Princeton University Press. С. 163–177.
4. Рабинович, Стэнли (1997). "Полиномиальная кривая постоянной ширины" (PDF) . Missouri Journal of Mathematical Sciences . 9 (1): 23–27. doi : 10.35834/1997/0901023 . MR  1455287.
5. Барде, Магали; Байен, Теренс (2013). «О степени многочлена, определяющего плоские алгебраические кривые постоянной ширины». arXiv : 1312.4358 [math.AG].
6. Брайант, Джон; Сангвин, Крис (2008). "Глава 10: Насколько круглый ваш круг?". Насколько круглый ваш круг? Где встречаются инженерия и математика . Princeton University Press. С. 188–226. ISBN 978-0-691-13118-4.
7. Канди, Х. Мартин ; Роллетт, А. П. (1961). Математические модели (2-е изд.). Oxford University Press. стр. 212.
8. Robertson, SA (1984). «Гладкие кривые постоянной ширины и транснормальность». Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (3): 264–274. doi :10.1112/blms/16.3.264. MR  0738517.
9. Lowry, HV (февраль 1950). "2109. Кривые постоянного диаметра". Математические заметки. The Mathematical Gazette . 34 (307): 43. doi :10.2307/3610879. JSTOR  3610879. S2CID  187767688.
10. Голдберг, Майкл (март 1954 г.). «Роторы внутри роторов». American Mathematical Monthly . 61 (3): 166–171. doi :10.2307/2307215. JSTOR  2307215.
11. Берк, Джон Ф. (март 1966). «Кривая постоянного диаметра». Mathematics Magazine . 39 (2): 84–85. doi :10.2307/2688715. JSTOR  2688715.
12. Kearsley, MJ (сентябрь 1952 г.). «Кривые постоянного диаметра». The Mathematical Gazette . 36 (317): 176–179. doi :10.2307/3608253. JSTOR  3608253. S2CID  125468725.
13. Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019). Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями . Биркхойзер. doi :10.1007/978-3-030-03868-7. ISBN 978-3-030-03866-3. MR  3930585. S2CID  127264210.О свойствах плоских кривых постоянной ширины см., в частности, стр. 69–71. О телах Мейсснера см. раздел 8.3, стр. 171–178. О телах постоянной яркости см. раздел 13.3.2, стр. 310–313.
14. Martinez-Maure, Yves (1996). «Заметка о теореме о теннисном мяче». American Mathematical Monthly . 103 (4): 338–340. doi :10.2307/2975192. JSTOR  2975192. MR  1383672.
15. Chakerian, GD (1966). «Наборы постоянной ширины». Pacific Journal of Mathematics . 19 : 13–21. doi : 10.2140/pjm.1966.19.13 . MR  0205152.
16. Ферреоль, Роберт; Буро, Самуэль; Эскюлье, Ален (2017). «Самопараллельная кривая, кривая постоянной ширины». Энциклопедия замечательных математических форм .
17. Лэй, Стивен Р. (2007). Выпуклые множества и их приложения. Довер. Теорема 11.11, стр. 81–82. ISBN 9780486458038..
18. Барбье, Э. (1860). «Заметка о проблеме l'aiguille et le jeu du Joint couvert» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 2 ^e série (на французском языке). 5 : 273–286.См. в частности стр. 283–285.
19. Грубер, Питер М. (1983). Выпуклость и ее применения. Биркхойзер. стр. 67. ISBN 978-3-7643-1384-5.
20. Eggleston, HG (1965). «Наборы постоянной ширины в конечномерных банаховых пространствах». Israel Journal of Mathematics . 3 (3): 163–172. doi :10.1007/BF02759749. MR  0200695. S2CID  121731141.
21. Йессен, Бёрге (1929). «Über konvexe Punktmengen konstanter Breite». Mathematische Zeitschrift . 29 (1): 378–380. дои : 10.1007/BF03326404. МР  3108700. S2CID  122800988.
22. Вегнер, Б. (1977). «Аналитическая аппроксимация непрерывных овалов постоянной ширины». Журнал математического общества Японии . 29 (3): 537–540. doi : 10.2969/jmsj/02930537 . MR  0464076.
23. Крейзер, Маркос; Тейшейра, Ральф; Балестро, Витор (2018). «Замкнутые циклоиды в нормированной плоскости». Монашефте по математике . 185 (1): 43–60. arXiv : 1608.01651 . дои : 10.1007/s00605-017-1030-5. МР  3745700. S2CID  119710622.
24. Чемберленд, Марк (2015). Однозначные цифры: похвала малым числам. Princeton University Press. С. 104–105. ISBN 9781400865697.
25. Мур, Хелен (2004). «Геометрия космического челнока». В Хейс, Дэвид Ф.; Шубин, Татьяна (ред.). Математические приключения для студентов и любителей . MAA Spectrum. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 7–16. ISBN 0-88385-548-8. МР  2085842.
26. Келли, Пол Дж. (1957). «Кривые с некоторой постоянной шириной». American Mathematical Monthly . 64 (5): 333–336. doi :10.2307/2309594. JSTOR  2309594. MR  0092168.
27. Фудзивара, М. (1914). «О пространственных кривых постоянной ширины». Tohoku Mathematical Journal . 1-я серия. 5 : 180–184.
28. Чеслак, Вальдемар (1988). «О пространственных кривых постоянной ширины». Бюллетень Общества наук и литературы Лодзи . 38 (5): 7. МР  0995691.
29. Тойфель, Эберхард (1993). «О длине пространственных кривых постоянной ширины». Beiträge zur Algebra und Geometry . 34 (2): 173–176. МР  1264285.
30. Вегнер, Бернд (1972). «Globale Sätze über Raumkurven konstanter Breite». Mathematische Nachrichten (на немецком языке). 53 (1–6): 337–344. дои : 10.1002/мана.19720530126. МР  0317187.
31. Лейхтвайс, К. (2005). «Кривые постоянной ширины в неевклидовой геометрии». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 75 : 257–284. дои : 10.1007/BF02942046. MR  2187589. S2CID  119927817.

Внешние ссылки

• Интерактивный апплет, заархивированный 23 ноября 2015 г. на Wayback Machine Майклом Борчердсом, демонстрирует неровную фигуру постоянной ширины (которую можно изменить), созданную с помощью GeoGebra.
• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая постоянной ширины». MathWorld .
• Молд, Стив. "Фигуры и тела постоянной ширины". Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2016-03-19 . Получено 2013-11-17 .
• Формы постоянной ширины при разрезании узла