Радикал целого числа

Произведение простых множителей заданного целого числа

В теории чисел радикал положительного целого числа n определяется как произведение различных простых чисел, делящих n . Каждый простой множитель n встречается ровно один раз как множитель этого произведения:

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

Радикал играет центральную роль в утверждении abc-гипотезы . ^[1]

Примеры

Радикальные числа для первых нескольких положительных целых чисел:

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (последовательность A007947 в OEIS ).

Например, $${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

и поэтому $${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

Характеристики

Функция является мультипликативной (но не полностью мультипликативной ). ${\displaystyle \mathrm {rad} }$

Радикал любого целого числа является наибольшим бесквадратным делителем и поэтому также описывается как бесквадратное ядро ​​числа . ^[2] Не существует известного алгоритма полиномиального времени для вычисления бесквадратной части целого числа. ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Определение обобщено до наибольшего -свободного делителя , , которые являются мультипликативными функциями, действующими на степенях простых чисел как ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$

$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

Случаи сведены в таблицы в OEIS : A007948 и OEIS : A058035 . ${\displaystyle t=3}$ ${\displaystyle t=4}$

Понятие радикала встречается в abc-гипотезе , которая утверждает, что для любого существует конечное такое, что для всех троек взаимно простых положительных целых чисел , и удовлетворяющих , ^[1] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c}$

$${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

Для любого целого числа нильпотентными элементами конечного кольца являются все элементы , кратные . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$

Ряд Дирихле — это

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$

Ссылки

1. Gowers, Timothy (2008). "V.1 The ABC Conjecture". The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. стр. 681.
2. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A007947". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
3. Adleman, Leonard M. ; McCurley, Kevin S. "Open Problems in Number Theoretic Complexity, II". Алгоритмическая теория чисел: Первый международный симпозиум, ANTS-I Итака, Нью-Йорк, США, 6–9 мая 1994 г., Труды . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 877. Springer. pp. 291–322. CiteSeerX 10.1.1.48.4877 . doi :10.1007/3-540-58691-1_70. MR  1322733.