Радикал модуля

В математике , в теории модулей , радикал модуля является компонентом в теории структуры и классификации. Он является обобщением радикала Джекобсона для колец . Во многих отношениях это двойственное понятие цоколя soc ( M ) для M .

Определение

Пусть R -- кольцо , а M -- левый R - модуль . Подмодуль N модуля M называется максимальным или косимпловым , если отношение M / N -- простой модуль . Радикал модуля M -- это пересечение всех максимальных подмодулей модуля M ,

${\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\bigcap \,\{N\mid N{\mbox{ is a maximal submodule of }}M\}}$

Эквивалентно,

${\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\sum \,\{S\mid S{\mbox{ is a superfluous submodule of }}M\}}$

Эти определения имеют прямые двойственные аналоги для soc( M ).

Характеристики

• Помимо того, что rad( M ) является суммой лишних подмодулей, в нётеровом модуле rad( M ) сам является лишним подмодулем .

На самом деле, если M конечно порожден над кольцом, то rad( M ) сам по себе является лишним подмодулем. Это происходит потому, что любой собственный подмодуль M содержится в максимальном подмодуле M, когда M конечно порожден.

• Кольцо, для которого rad( M ) = {0} для каждого правого R -модуля M, называется правым V-кольцом .
• Для любого модуля M rad( M /rad( M )) равен нулю.
• M является конечно порождённым модулем тогда и только тогда, когда косоцоколь M / rad( M ) является конечно порождённым и rad( M ) является избыточным подмодулем M .

Смотрите также

• Цоколь (математика)
• радикал Якобсона

Ссылки

• Альперин, JL ; Роуэн Б. Белл (1995). Группы и представления . Спрингер-Верлаг . п. 136. ИСБН 0-387-94526-1.
• Андерсон, Фрэнк Уайли; Кент Р. Фуллер (1992). Кольца и категории модулей . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1.