Радиус сходимости

Область сходимости степенных рядов

В математике радиус сходимости степенного ряда — это радиус наибольшего круга в центре ряда , в котором ряд сходится . Это либо неотрицательное действительное число, либо . Когда он положителен, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на компактных множествах внутри открытого круга радиуса, равного радиусу сходимости, и это ряд Тейлора аналитической функции , к которой он сходится. В случае множественных особенностей функции (особенности — это те значения аргумента, для которых функция не определена), радиус сходимости — это кратчайшее или минимальное из всех соответствующих расстояний (которые все являются неотрицательными числами), вычисленных от центра круга сходимости до соответствующих особенностей функции. ${\displaystyle \infty }$

Определение

Для степенного ряда f, определяемого как:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},}$

где

• а — комплексная константа, центр круга сходимости ,
• c _n — n -й комплексный коэффициент, а
• z — комплексная переменная.

Радиус сходимости r — это неотрицательное действительное число или такое, что ряд сходится, если ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle |z-a|<r}$

и расходится, если

${\displaystyle |z-a|>r.}$

Некоторые могут предпочесть альтернативное определение, поскольку существование очевидно:

${\displaystyle r=\sup \left\{|z-a|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\ {\text{ converges }}\right.\right\}}$

На границе, то есть там, где | z  −  a | = r , поведение степенного ряда может быть сложным, и ряд может сходиться для некоторых значений z и расходиться для других. Радиус сходимости бесконечен, если ряд сходится для всех комплексных чисел z . ^[1]

Нахождение радиуса сходимости

Возникают два случая:

• Первый случай теоретический: когда вы знаете все коэффициенты , то вы берете определенные пределы и находите точный радиус сходимости. ${\displaystyle c_{n}}$
• Второй случай практический: когда вы строите решение степенного ряда сложной задачи, вы обычно знаете только конечное число членов степенного ряда, где-то от пары членов до сотни членов. В этом втором случае экстраполяция графика оценивает радиус сходимости.

Теоретический радиус

Радиус сходимости можно найти, применив тест на наличие корня к членам ряда. Тест на наличие корня использует число

${\displaystyle C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-a)^{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\right)|z-a|}$

"lim sup" обозначает верхний предел . Корневой тест утверждает, что ряд сходится, если C  < 1, и расходится, если  C  > 1. Из этого следует, что степенной ряд сходится, если расстояние от z до центра a меньше

${\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}}$

и расходится, если расстояние превышает это число; это утверждение — теорема Коши–Адамара . Обратите внимание, что r  = 1/0 интерпретируется как бесконечный радиус, что означает, что f — целая функция .

Предел, используемый в тесте отношения, обычно вычислить проще, и когда этот предел существует, он показывает, что радиус сходимости конечен.

${\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Это показано следующим образом. Тест отношения показывает, что ряд сходится, если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_{n}(z-a)^{n}|}}<1.}$

Это эквивалентно

${\displaystyle |z-a|<{\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {|c_{n+1}|}{|c_{n}|}}}}=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$

Практическая оценка радиуса в случае действительных коэффициентов

Графики функции Сплошная зеленая линия — это прямая асимптота на графике Домба–Сайкса, ^[2] график (b), которая пересекает вертикальную ось в точке −2 и имеет наклон +1. Таким образом, в точке есть сингулярность , и радиус сходимости равен ${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon ^{3})}{\sqrt {1+2\varepsilon }}}.}$
${\displaystyle \varepsilon =-1/2}$ ${\displaystyle r=1/2.}$

Обычно в научных приложениях известно лишь конечное число коэффициентов . Обычно по мере увеличения эти коэффициенты приходят к регулярному поведению, определяемому ближайшей сингулярностью, ограничивающей радиус. В этом случае были разработаны два основных метода, основанные на том факте, что коэффициенты ряда Тейлора приблизительно экспоненциальны с отношением , где r — радиус сходимости. ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/r}$

• Основной случай — когда коэффициенты в конечном итоге имеют общий знак или чередуются по знаку. Как указывалось ранее в статье, во многих случаях предел существует, и в этом случае . Отрицательное означает, что ограничивающая сходимость особенность находится на отрицательной оси. Оцените этот предел, построив график зависимости от , и графически экстраполируйте до (фактически ) с помощью линейной подгонки . Отсекающий элемент с оценивает обратную величину радиуса сходимости, . Этот график называется графиком Домба–Сайкса . ^[3] ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$ ${\textstyle 1/r=\lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c_{n}/c_{n-1}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle n=\infty }$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle 1/r}$
• Более сложный случай — когда знаки коэффициентов имеют более сложную структуру. Мерсер и Робертс предложили следующую процедуру. ^[4] Определите связанную последовательность Постройте график конечного числа известных в зависимости от и графически экстраполируйте на с помощью линейной аппроксимации. Свободный член с оценивает обратную величину радиуса сходимости, . $${\displaystyle b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}{c_{n}c_{n-2}-c_{n-1}^{2}}}\quad n=3,4,5,\ldots .}$$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle 1/n=0}$ ${\displaystyle 1/r}$
  Эта процедура также оценивает две другие характеристики сингулярности, ограничивающей сходимость. Предположим, что ближайшая сингулярность имеет степень и имеет угол к действительной оси. Тогда наклон линейной аппроксимации, приведенной выше, равен . Далее, построим график в зависимости от , тогда линейная аппроксимация, экстраполированная к , имеет точку пересечения при . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pm \theta }$ ${\displaystyle -(p+1)/r}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{n-1}b_{n}}{c_{n}}}+{\frac {c_{n+1}}{c_{n}b_{n}}}\right)}$ ${\textstyle 1/n^{2}}$ ${\textstyle 1/n^{2}=0}$ ${\displaystyle \cos \theta }$

Радиус сходимости в комплексном анализе

Степенной ряд с положительным радиусом сходимости можно превратить в голоморфную функцию , взяв его аргумент в качестве комплексной переменной. Радиус сходимости можно охарактеризовать следующей теоремой:

Радиус сходимости степенного ряда f с центром в точке a равен расстоянию от a до ближайшей точки, в которой f нельзя определить таким образом, чтобы сделать его голоморфным.

Множество всех точек, расстояние которых до a строго меньше радиуса сходимости, называется кругом сходимости .

Радиус сходимости (белый) и аппроксимации Тейлора (синий) для . ${\displaystyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$

Ближайшая точка означает ближайшую точку в комплексной плоскости , не обязательно на действительной прямой, даже если центр и все коэффициенты действительны. Например, функция

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

не имеет особенностей на вещественной прямой, так как не имеет вещественных корней. Его ряд Тейлора около 0 задается как ${\displaystyle 1+z^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}.}$

Корневой тест показывает, что его радиус сходимости равен 1. В соответствии с этим функция f ( z ) имеет особенности при ± i , которые находятся на расстоянии 1 от 0.

Доказательство этой теоремы см. в статье Аналитичности голоморфных функций .

Простой пример

Функцию арктангенса тригонометрии можно разложить в степенной ряд:

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}$

В этом случае легко применить тест на наличие корня и обнаружить, что радиус сходимости равен 1.

Более сложный пример

Рассмотрим этот степенной ряд:

${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}$

где рациональные числа B _n являются числами Бернулли . Может быть обременительно пытаться применить тест отношения, чтобы найти радиус сходимости этого ряда. Но теорема комплексного анализа, изложенная выше, быстро решает проблему. При z = 0, по сути, нет никакой особенности, поскольку особенность устранима . Единственные неустранимые особенности, следовательно, находятся в других точках, где знаменатель равен нулю. Мы решаем

${\displaystyle e^{z}-1=0}$

вспоминая, что если z = x + iy и e ^iy = cos( y ) + i sin( y ), то

${\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),}$

и затем взять x и y действительными. Поскольку y действительный, абсолютное значение cos( y ) + i sin( y ) обязательно равно 1. Следовательно, абсолютное значение e ^z может быть равно 1, только если e ^x равно 1; поскольку x действительный, это происходит только если x = 0. Следовательно, z является чисто мнимым и cos( y ) + i sin( y ) = 1 . Поскольку y действительный, это происходит только если cos( y ) = 1 и sin( y ) = 0, так что y является целым кратным 2 π . Следовательно, особые точки этой функции возникают при

z = ненулевое целое число, кратное 2 π i .

Сингулярности, ближайшие к 0, который является центром разложения степенного ряда, находятся при ±2 π i . Расстояние от центра до любой из этих точек равно 2 π , поэтому радиус сходимости равен 2 π .

Конвергенция на границе

Если степенной ряд разложен вокруг точки a и радиус сходимости равен r , то множество всех точек z таких, что | z − a | = r, является окружностью, называемой границей круга сходимости. Степенной ряд может расходиться в каждой точке границы или расходиться в некоторых точках и сходиться в других точках, или сходиться во всех точках границы. Более того, даже если ряд сходится всюду на границе (даже равномерно), он не обязательно сходится абсолютно.

Пример 1: Степенной ряд для функции f ( z ) = 1/(1 − z ) , разложенный вокруг z = 0 , который просто равен

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}$

имеет радиус сходимости 1 и расходится в каждой точке границы.

Пример 2: Степенной ряд для g ( z ) = −ln(1 − z ) , разложенный вокруг z = 0 , который равен

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n},}$

имеет радиус сходимости 1 и расходится при z = 1, но сходится для всех других точек на границе. Функция f ( z ) из примера 1 является производной g ( z ) .

Пример 3: Степенной ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

имеет радиус сходимости 1 и сходится всюду на границе абсолютно. Если h — функция, представленная этим рядом на единичном круге, то производная h ( z ) равна g ( z )/ z с g из примера 2. Оказывается, что h ( z ) — функция дилогарифма .

Пример 4: Степенной ряд

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ where }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{\text{ for }}n=\lfloor \log _{2}(i)\rfloor +1{\text{, the unique integer with }}2^{n-1}\leq i<2^{n},}$

имеет радиус сходимости 1 и сходится равномерно на всей границе | z | = 1 , но не сходится абсолютно на границе. ^[5]

Скорость сходимости

Если мы расширим функцию

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x}$

вокруг точки x = 0 мы обнаруживаем, что радиус сходимости этого ряда означает , что этот ряд сходится для всех комплексных чисел. Однако в приложениях часто интересует точность числового ответа . Как количество членов, так и значение, при котором ряд должен быть оценен, влияют на точность ответа. Например, если мы хотим вычислить sin(0.1) с точностью до пяти знаков после запятой, нам нужны только первые два члена ряда. Однако, если мы хотим такой же точности для x = 1, мы должны оценить и просуммировать первые пять членов ряда. Для sin(10) требуются первые 18 членов ряда, а для sin(100) нам нужно оценить первые 141 член. ${\displaystyle \infty }$

Таким образом, для этих конкретных значений самая быстрая сходимость разложения степенного ряда происходит в центре, и по мере удаления от центра сходимости скорость сходимости замедляется, пока вы не достигнете границы (если она существует) и не пересечете ее, в этом случае ряд будет расходиться.

Абсцисса сходимости ряда Дирихле

Аналогичное понятие — абсцисса сходимости ряда Дирихле.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Такой ряд сходится, если действительная часть s больше определенного числа, зависящего от коэффициентов a _n : абсциссы сходимости.

Примечания

1. Математический анализ-II. Кришна Пракашан Медиа. 16 ноября 2010 г.
2. См. рисунок 8.1 в: Hinch, EJ (1991), Perturbation Methods , Cambridge Texts in Applied Mathematics, т. 6, Cambridge University Press, стр. 146, ISBN 0-521-37897-4
3. Домб, К.; Сайкс, М.Ф. (1957), «О восприимчивости ферромагнетика выше точки Кюри», Proc. R. Soc. Lond. A , 240 (1221): 214–228, Bibcode : 1957RSPSA.240..214D, doi : 10.1098/rspa.1957.0078, S2CID  119974403
4. Мерсер, ГН; Робертс, АДж (1990), «Описание рассеивания загрязняющих веществ в каналах с различными свойствами потока с помощью центрального многообразия», SIAM J. Appl. Math. , 50 (6): 1547–1565, doi :10.1137/0150091
5. Серпинский, В. (1918). «О szeregu potęgowym, кто есть zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie, ale nie bezwzględnie». Prace Matematyczno-Fizyczne . 29 (1): 263–266.

Ссылки

• Браун, Джеймс; Черчилль, Руэль (1989), Комплексные переменные и их применение , Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-010905-6
• Стайн, Элиас ; Шакарчи, Рами (2003), Комплексный анализ , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-11385-8

Смотрите также

• Теорема Абеля
• Тесты на сходимость
• Корневой тест

Внешние ссылки

• Что такое радиус сходимости?