Радиус инерции

Расстояние от центра масс до оси вращения

Радиус инерции или гирадиус тела вокруг оси вращения определяется как радиальное расстояние до точки, которая имела бы момент инерции, такой же, как фактическое распределение массы тела, если бы вся масса тела была сосредоточена в ней. Радиус инерции имеет размерность расстояния [L] или [M ⁰ LT ⁰ ], а единицей СИ является метр (м).

Формулировка

Математически радиус инерции — это среднеквадратичное расстояние частей объекта от его центра масс или заданной оси, в зависимости от соответствующего применения. Фактически это перпендикулярное расстояние от точечной массы до оси вращения. Можно представить траекторию движущейся точки как тело. Тогда радиус инерции можно использовать для характеристики типичного расстояния, пройденного этой точкой.

Предположим, что тело состоит из частиц, каждая из которых имеет массу . Пусть — их перпендикулярные расстояния от оси вращения. Тогда момент инерции тела относительно оси вращения равен ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}}$

Если все массы одинаковы ( ), то момент инерции равен . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle I=m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})}$

Так как ( будучи полной массой тела), ${\displaystyle m=M/n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Из приведенных выше уравнений имеем

${\displaystyle MR_{g}^{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Радиус инерции - это среднеквадратичное расстояние частиц от оси, формула

${\displaystyle R_{g}^{2}=(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Поэтому радиус инерции тела вокруг заданной оси может быть также определен как среднеквадратичное расстояние различных частиц тела от оси вращения. Он также известен как мера того, как масса вращающегося твердого тела распределена вокруг его оси вращения.

Определение ИЮПАП

Радиус инерции (в полимерной науке) ( единица: нм или единица СИ: м): Для макромолекулы, состоящей из массовых элементов с массами , =1,2,…, , расположенных на фиксированных расстояниях от центра масс, радиус инерции равен квадратному корню из средней массы по всем массовым элементам, т. е. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}^{2}}$

${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}s_{i}^{2}/\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)^{1/2}}$

Примечание: Элементы массы обычно берутся как массы скелетных групп, составляющих макромолекулу, например, –CH ₂ – в поли(метилене). ^[1]

Применение в строительной инженерии

В строительной инженерии двумерный радиус инерции используется для описания распределения площади поперечного сечения в колонне вокруг ее центральной оси с массой тела. Радиус инерции определяется по следующей формуле:

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{A}}}}$

Где - момент инерции , а - полная площадь поперечного сечения. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$

Радиус инерции полезен для оценки жесткости колонны. Если главные моменты двумерного тензора инерции не равны, колонна будет иметь тенденцию изгибаться вокруг оси с меньшим главным моментом. Например, колонна с эллиптическим поперечным сечением будет иметь тенденцию изгибаться в направлении меньшей полуоси.

В технике , где объектами изучения являются, как правило, сплошные тела материи, радиус инерции обычно вычисляется как интеграл.

Применение в механике

Радиус вращения вокруг заданной оси ( ) можно рассчитать через момент инерции массы вокруг этой оси и общую массу m ; ${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}}$ ${\displaystyle I_{\text{axis}}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}={\sqrt {\frac {I_{\text{axis}}}{m}}}}$

${\displaystyle I_{\text{axis}}}$является скаляром и не является тензором момента инерции . ^[2]

Молекулярные приложения

Определение радиуса инерции по ИЮПАК

В физике полимеров радиус инерции используется для описания размеров полимерной цепи . Радиус инерции отдельного гомополимера со степенью полимеризации N в данный момент времени определяется как: ^[3]

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}}$

где — среднее положение мономеров. Как подробно описано ниже, радиус инерции также пропорционален среднеквадратичному расстоянию между мономерами: ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i\neq j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}$

В качестве третьего метода радиус инерции можно также вычислить путем суммирования главных моментов тензора инерции .

Поскольку число цепных конформаций полимерного образца практически бесконечно и они постоянно меняются со временем, «радиус инерции», обсуждаемый в физике полимеров, обычно следует понимать как среднее значение по всем полимерным молекулам образца и по времени. То есть радиус инерции, который измеряется как среднее значение по времени или ансамблю :

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}\right\rangle }$

где угловые скобки обозначают среднее по ансамблю . ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$

Полимерная цепь, управляемая энтропией (т.е. в так называемых тета-условиях), следует случайному блужданию в трех измерениях. Радиус инерции для этого случая определяется как

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\frac {1}{{\sqrt {6}}\ }}\ {\sqrt {N}}\ a}$

Обратите внимание, что хотя представляет собой контурную длину полимера, она сильно зависит от жесткости полимера и может изменяться на порядки величины. уменьшается соответственно. ${\displaystyle aN}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$

Одна из причин, по которой радиус инерции является интересным свойством, заключается в том, что его можно определить экспериментально с помощью статического рассеяния света , а также с помощью малоуглового нейтронного и рентгеновского рассеяния . Это позволяет физикам-теоретикам, изучающим полимеры, проверять свои модели на соответствие реальности. Гидродинамический радиус численно аналогичен и может быть измерен с помощью динамического рассеяния света (DLS).

Вывод идентичности

Чтобы показать, что два определения идентичны, сначала перемножим слагаемое в первом определении: ${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right]}$

Выполняя суммирование по последним двум членам и используя определение, получаем формулу ${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)}$

С другой стороны, второе определение можно рассчитать следующим образом.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {g} }^{2}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}-2\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\left[N\sum _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{I}\right)-2\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)+N\sum _{j}\left(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\right]\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\end{aligned}}}$

Таким образом, эти два определения идентичны.

Последнее преобразование использует соотношение

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \left(\sum _{j}\mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\\&=\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }.\end{aligned}}}$

Применение в анализе географических данных

В анализе данных радиус инерции используется для расчета множества различных статистических данных, включая распространение географических местоположений. Эти местоположения были недавно собраны у пользователей социальных сетей для исследования типичных упоминаний пользователя. Это может быть полезно для понимания того, как определенная группа пользователей социальных сетей использует платформу.

${\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}(r_{i}-r_{C})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}m_{i}}}}}$

Примечания

1. Stepto, R.; Chang, T.; Kratochvil, P.; Hess, M.; Horie, K.; Sato, T.; Vohlídal, J. (2015). «Определения терминов, относящихся к отдельным макромолекулам, макромолекулярным ансамблям, полимерным растворам и аморфным объемным полимерам (Рекомендации IUPAC 2014 г.)» (PDF) . Pure Appl Chem . 87 (1): 71. doi :10.1515/pac-2013-0201.
2. См., например, Goldstein, Herbert (1950), Classical Mechanics (1-е изд.), Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Companyуравнение 5-30
3. Fixman, Marshall (1962). «Радиус инерции полимерных цепей». Журнал химической физики . 36 (2): 306–310. Bibcode : 1962JChPh..36..306F. doi : 10.1063/1.1732501.

Ссылки

• Гросберг А.Ю. и Хохлов А.Р. (1994) Статистическая физика макромолекул (перевод Атанова Я.А.), AIP Press. ISBN 1-56396-071-0 
• Флори П.Дж. (1953) Принципы химии полимеров , Корнелльский университет, стр. 428–429 (Приложение C главы X).