Спектральный радиус

Largest absolute value of an operator's eigenvalues

В математике спектральный радиус квадратной матрицы — это максимальное из абсолютных значений ее собственных значений . ^[1] В более общем смысле, спектральный радиус ограниченного линейного оператора — это верхняя грань абсолютных значений элементов его спектра . Спектральный радиус часто обозначается ρ(·) .

Определение

Матрицы

Пусть λ ₁ , ..., λ _n — собственные значения матрицы A ∈ C ^{n × n} . Спектральный радиус A определяется как

${\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.}$

Спектральный радиус можно рассматривать как нижнюю границу всех норм матрицы. Действительно, с одной стороны, для всякой естественной матричной нормы ; а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что . Оба этих результата показаны ниже. ${\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}}$

Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет произвольным векторам . Чтобы понять, почему, пусть это будет произвольно и рассмотрим матрицу ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle r>1}$

${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$.

Характеристический полином равен , поэтому его собственные значения равны и . Однако, . Как результат, ${\displaystyle C_{r}}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}-1}$ ${\displaystyle \{-1,1\}}$ ${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$ ${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}$

В качестве иллюстрации формулы Гельфанда отметим, что как , так как if четно, а if нечетно. ${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle C_{r}^{k}=I}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}$ ${\displaystyle k}$

Особым случаем, когда для всех является эрмитова матрица и евклидова норма . Это связано с тем, что любая эрмитова матрица диагонализуется унитарной матрицей , а унитарные матрицы сохраняют длину вектора. Как результат, ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.}$

Ограниченные линейные операторы

В контексте ограниченного линейного оператора A в банаховом пространстве собственные значения необходимо заменить элементами спектра оператора , то есть значениями, для которых не является биективным. Обозначим спектр через ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$

${\displaystyle \sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{is not bijective}}\right\}}$

Спектральный радиус тогда определяется как верхняя граница величин элементов спектра:

${\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |}$

Формула Гельфанда, известная также как формула спектрального радиуса, справедлива и для ограниченных линейных операторов: обозначая норму оператора , имеем ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Ограниченный оператор (в комплексном гильбертовом пространстве) называется спектроидным оператором, если его спектральный радиус совпадает с его числовым радиусом . Примером такого оператора является обычный оператор .

Графики

Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности .

Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (т.е. существует некоторое действительное число C такое, что степень каждой вершины графа меньше C ). В этом случае для графа G определим:

${\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.}$

Пусть γ — оператор смежности группы G :

${\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}}$

Спектральный радиус G определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ .

Верхние границы

Верхние оценки спектрального радиуса матрицы

Следующее предложение дает простые, но полезные верхние оценки спектрального радиуса матрицы.

Предложение. Пусть A ∈ Cn ^{× n} со спектральным радиусом ρ ( A ) и согласованной матричной нормой ||⋅ ^|| . Тогда для каждого целого числа : ${\displaystyle k\geqslant 1}$

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Доказательство

Пусть ( v , λ ) — пара собственный вектор - собственное значение матрицы A. Учитывая субмультипликативность матричной нормы, получаем:

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.}$

Поскольку v ≠ 0 , мы имеем

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}$

и поэтому

${\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

завершая доказательство.

Верхние оценки спектрального радиуса графа

Существует множество верхних оценок спектрального радиуса графа, выраженного количеством вершин n и количеством ребер m . Например, если

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

где целое число, то ^[2] ${\displaystyle 3\leq k\leq n}$

${\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}}$

Последовательность мощности

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости степенной последовательности матрицы; а именно, как показывает следующая теорема.

Теорема. Пусть A ∈ C ^{n × n} со спектральным радиусом ρ ( A ) . Тогда ρ ( A ) < 1 тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.}$

С другой стороны, если ρ ( A ) > 1 , . Утверждение справедливо для любого выбора матричной нормы на C ^{n × n} . ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty }$

Доказательство

Предположим, что оно стремится к нулю при стремлении к бесконечности. Мы покажем, что ρ ( A ) < 1 . Пусть ( v , λ ) — пара собственный вектор - собственное значение для A. Поскольку A ^k v = λ ^k v , мы имеем ${\displaystyle A^{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}}$

Поскольку v ≠ 0 по условию, мы должны иметь

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,}$

что подразумевает . Поскольку это должно быть верно для любого собственного значения , мы можем заключить, что ρ ( A ) <1 . ${\displaystyle |\lambda |<1}$ ${\displaystyle \lambda }$

Теперь предположим, что радиус A меньше 1 . Из теоремы Жордана о нормальной форме мы знаем, что для всех ^A ∈ Cn × ^{n существуют} V , J ∈ Cn × ^{n с} неособым V и блочной диагональю J такие ^, что:

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$

с

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

где

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$

Это легко увидеть

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$

и, поскольку J блочно-диагональный,

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}}$

Теперь стандартный результат о k -степени жорданового блока гласит, что для : ${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$ ${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}}$

Таким образом, если тогда для всех i . Следовательно, для всех i мы имеем: ${\displaystyle \rho (A)<1}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}|<1}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0}$

что подразумевает

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.}$

Поэтому,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0}$

С другой стороны, если , существует хотя бы один элемент в J , который не остается ограниченным при увеличении k , тем самым доказывая вторую часть утверждения. ${\displaystyle \rho (A)>1}$

Формула Гельфанда

Формула Гельфанда, названная в честь Израиля Гельфанда , дает спектральный радиус как предел матричных норм.

Теорема

Для любой матричной нормы ||⋅|| имеем ^[3]

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$.

Более того, в случае согласованной матрицы норма приближается сверху (действительно, в этом случае для всех ). ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle \rho (A)}$ ${\displaystyle \rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle k}$

Доказательство

Для любого ε > 0 определим две следующие матрицы:

${\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.}$

Таким образом,

${\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).}$

Начнем с применения предыдущей теоремы о пределах степенных последовательностей к A ₊ :

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.}$

Это показывает существование N ₊ ∈ N такого, что для всех k ≥ N ₊ ,

${\displaystyle \left\|A_{+}^{k}\right\|<1.}$

Поэтому,

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .}$

Аналогично, из теоремы о степенных последовательностях следует, что она не ограничена и существует N ₋ ∈ N такое, что для всех k ≥ N ₋ , ${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$

${\displaystyle \left\|A_{-}^{k}\right\|>1.}$

Поэтому,

${\displaystyle \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .}$

Пусть N = max{ N ₊ , N ₋ }. Затем,

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,}$

то есть,

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$

На этом доказательство завершается.

Следствие

Формула Гельфанда дает оценку спектрального радиуса произведения коммутирующих матриц: если все матрицы коммутируют, то ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$

${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$

Численный пример

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$

чьи собственные значения равны 5, 10, 10 ; по определению ρ ( A ) = 10 . В следующей таблице приведены значения для четырех наиболее часто используемых норм в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы ): ${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }}$

Примечания и ссылки

1. Градштейн, И.С. (1980). Таблица интегралов, рядов и произведений. И. М. Рыжик, Алан Джеффри (корр. и англ. Ред.). Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-294760-6. ОСЛК  5892996.
2. Го, Цзи-Мин; Ван, Чжи-Вэнь; Ли, Синь (2019). «Точные верхние границы спектрального радиуса графа». Дискретная математика . 342 (9): 2559–2563. дои : 10.1016/j.disc.2019.05.017 . S2CID  198169497.
3. Формула справедлива для любой банаховой алгебры ; см. лемму IX.1.8 в Dunford & Schwartz 1963 и Lax 2002, стр. 195–197.

Библиография

• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб (1963), Линейные операторы II. Спектральная теория: самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве , Interscience Publishers, Inc.
• Лакс, Питер Д. (2002), Функциональный анализ , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

Смотрите также

• Спектральный разрыв
• Совместный спектральный радиус представляет собой обобщение спектрального радиуса на наборы матриц.
• Спектр матрицы
• Спектральная абсцисса