В классической дифференциальной геометрии развёртывание — это прокатывание одной гладкой поверхности по другой в евклидовом пространстве . Например, касательную плоскость к поверхности (например, сфере или цилиндру ) в точке можно прокатать по поверхности, чтобы получить касательную плоскость в других точках.
Касательный контакт между поверхностями, прокатываемыми друг по другу, обеспечивает связь между точками на двух поверхностях. Если эта связь (возможно, только в локальном смысле) является биекцией между поверхностями, то говорят, что две поверхности развертываются друг на друга или являются развертываниями друг друга. Иными словами, соответствие обеспечивает изометрию , локально, между двумя поверхностями.
В частности, если одна из поверхностей является плоскостью, то другая называется развертывающейся поверхностью : таким образом, развертывающаяся поверхность — это поверхность, которая локально изометрична плоскости. Цилиндр развертывается, а сфера — нет.
Развертывание можно обобщить еще больше, используя плоские соединения. С этой точки зрения прокатывание касательной плоскости по поверхности определяет аффинное соединение на поверхности (оно дает пример параллельного переноса вдоль кривой ), а развертываемая поверхность — это та, для которой это соединение является плоским.
В более общем смысле любая плоская связность Картана на многообразии определяет развертку этого многообразия на модельное пространство . Возможно, самым известным примером является развертка конформно плоских n -многообразий, в которых модельным пространством является n -сфера. Развертка конформно плоского многообразия является конформным локальным диффеоморфизмом из универсального покрытия многообразия в n -сферу.
Класс поверхностей двоякой кривизны (неразвертываемых поверхностей) содержит объекты, которые невозможно просто развернуть (развернуть). Такие поверхности можно развернуть лишь приближенно с некоторыми искажениями линейных элементов поверхности (см. Метод растянутой сетки ).