Сплит-кватернион

Four-dimensional associative algebra over the reals

В абстрактной алгебре расщепленные кватернионы или кокватернионы образуют алгебраическую структуру, введенную Джеймсом Коклем в 1849 году под последним названием. Они образуют ассоциативную алгебру размерности четыре над действительными числами .

После введения в 20 веке безкоординатных определений колец и алгебр было доказано, что алгебра расщепленных кватернионов изоморфна кольцу действительных матриц 2 ×2 . Таким образом, изучение расщепленных кватернионов можно свести к изучению действительных матриц, и это может объяснить, почему в математической литературе 20 и 21 веков упоминаний о расщепленных кватернионах немного.

Определение

Разделенные кватернионы представляют собой линейные комбинации (с действительными коэффициентами) четырех базисных элементов 1, i, j, k, которые удовлетворяют следующим правилам произведения:

я ² = −1 ,

j ² = 1 ,

к ² = 1 ,

ij = k = −ji .

По ассоциативности эти отношения подразумевают

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

а также ijk = 1 .

Итак, расщепленные кватернионы образуют действительное векторное пространство размерности четыре с {1, i, j, k} в качестве базиса . Они также образуют некоммутативное кольцо , расширяя вышеуказанные правила произведения по дистрибутивности на все расщепленные кватернионы.

Рассмотрим квадратные матрицы

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Они удовлетворяют той же таблице умножения, что и соответствующие расщепленные кватернионы. Поскольку эти матрицы образуют базис матриц размером два на два, уникальная линейная функция , которая отображает 1, i, j, k в (соответственно), индуцирует изоморфизм алгебры из расщепленных кватернионов в действительные матрицы размером два на два. ${\displaystyle {\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}$

Вышеприведенные правила умножения подразумевают, что восемь элементов 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k образуют группу при этом умножении, которая изоморфна диэдральной группе D ₄ , группе симметрии квадрата . Фактически, если рассмотреть квадрат, вершины которого являются точками, координаты которых равны 0 или 1 , матрица представляет собой поворот по часовой стрелке на четверть оборота, является симметрией относительно первой диагонали и является симметрией относительно оси x . ${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$

Характеристики

Подобно кватернионам , введенным Гамильтоном в 1843 году, они образуют четырехмерную действительную ассоциативную алгебру . Но подобно действительной алгебре матриц 2×2 — и в отличие от действительной алгебры кватернионов — расщепленные кватернионы содержат нетривиальные делители нуля , нильпотентные элементы и идемпотенты . (Например, ⁠1/2( 1 + j) — идемпотентный делитель нуля, а i − j — нильпотент.) Как алгебра над действительными числами , алгебра расщепленных кватернионов изоморфна алгебре действительных матриц 2×2 посредством определенного выше изоморфизма.

Этот изоморфизм позволяет отождествить каждый сплит-кватернион с матрицей 2 × 2. Таким образом, каждое свойство сплит-кватернионов соответствует аналогичному свойству матриц, которое часто называют по-разному.

Сопряжение расщепленного кватерниона q = w + x i + y j + z k равно q ^∗ = w − x i − y j − z k . В терминах матриц сопряжение — это матрица сомножителей, полученная путем обмена диагональными элементами и изменения знака двух других элементов.

Произведение расщепленного кватерниона с его сопряженным является изотропной квадратичной формой :

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

которая называется нормой расщепленного кватерниона или определителем связанной матрицы.

Действительная часть расщепленного кватерниона q = w + x i + y j + z k равна w = ( q ^∗ + q )/2 . Она равна следу связанной матрицы.

Норма произведения двух расщепленных кватернионов является произведением их норм. Эквивалентно, определитель произведения матриц является произведением их определителей. Это свойство означает, что расщепленные кватернионы образуют композиционную алгебру . Поскольку существуют ненулевые расщепленные кватернионы, имеющие нулевую норму, расщепленные кватернионы образуют «расщепленную композиционную алгебру» — отсюда и их название.

Сплит-кватернион с ненулевой нормой имеет мультипликативную обратную , а именно q ^∗ / N ( q ) . В терминах матриц это эквивалентно правилу Крамера , которое утверждает, что матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель ненулевой, и в этом случае обратная матрица является частным от деления матрицы-кофактора на определитель.

Изоморфизм между расщепленными кватернионами и действительными матрицами 2×2 показывает, что мультипликативная группа расщепленных кватернионов с ненулевой нормой изоморфна , а группа расщепленных кватернионов нормы 1 изоморфна ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).}$

Геометрически расщепленные кватернионы можно сравнить с кватернионами Гамильтона как пучки плоскостей . В обоих случаях действительные числа образуют ось пучка. В кватернионах Гамильтона есть сфера мнимых единиц, и любая пара антиподных мнимых единиц порождает комплексную плоскость с действительной линией. Для расщепленных кватернионов существуют гиперболоиды гиперболических и мнимых единиц, которые порождают расщепленные комплексные или обычные комплексные плоскости, как описано ниже в § Стратификация.

Представление в виде комплексных матриц

Существует представление расщепленных кватернионов как унитальной ассоциативной подалгебры матриц 2×2 с комплексными элементами. Это представление может быть определено гомоморфизмом алгебры , который отображает расщепленный кватернион w + x i + y j + z k в матрицу

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.}$

Здесь i ( курсив ) — мнимая единица , не следует путать ее с базисным элементом кватерниона i ( прямой римский ).

Образом этого гомоморфизма является матричное кольцо, образованное матрицами вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

где верхний индекс обозначает комплексно сопряженное число . ${\displaystyle ^{*}}$

Этот гомоморфизм отображает соответственно расщепленные кватернионы i, j, k на матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

Доказательство того, что это представление является гомоморфизмом алгебры, простое, но требует некоторых скучных вычислений, которых можно избежать, начав с выражения расщепленных кватернионов как действительных матриц 2×2 и используя подобие матриц . Пусть S будет матрицей

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.}$

Тогда, примененный к представлению расщепленных кватернионов в виде действительных матриц 2×2 , указанный выше гомоморфизм алгебры представляет собой подобие матриц.

${\displaystyle M\mapsto S^{-1}MS.}$

Отсюда почти сразу следует, что для разделенного кватерниона, представленного в виде комплексной матрицы, сопряженной является матрица сомножителей, а норма — определитель.

При представлении расщепленных кватернионов в виде комплексных матриц матрицы кватернионов нормы 1 являются в точности элементами специальной унитарной группы SU(1,1) . Это используется в гиперболической геометрии для описания гиперболических движений модели диска Пуанкаре . ^[1]

Генерация из расщепленных комплексных чисел

Сплит-кватернионы могут быть получены с помощью модифицированной конструкции Кэли–Диксона ^[2], аналогичной методу LE Диксона и Адриана Альберта для алгебр с делением C , H и O. Правило умножения используется при получении удвоенного произведения в случаях вещественного расщепления. Удвоенное сопряжение так, что Если a и b являются расщепленными комплексными числами и расщепленным кватернионом $${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$$ ${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$ $${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$$ ${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

затем $${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$$

Стратификация

В этом разделе изучаются и классифицируются действительные подалгебры, порожденные одним расщепленным кватернионом.

Пусть p = w + x i + y j + z k — расщепленный кватернион. Его действительная часть равна w = ⁠1/2⁠ ( p + p ^* ) . Пусть q = p – w = ⁠1/2⁠ ( p – p ^* ) будет его недействительной частью . Имеем q ^* = – q , и поэтомуследует, что p ² является действительным числом тогда и только тогда, когда p является либо действительным числом ( q = 0 и p = w ), либо чисто недействительным расщепленным кватернионом ( w = 0 и p = q ). ${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).}$

Структура подалгебры, порожденной p, следует непосредственно. Имеется ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$

${\displaystyle \mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},}$

и это коммутативная алгебра . Ее размерность равна двум, за исключением случая, когда p является действительным числом (в этом случае подалгебра — это просто ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Недействительные элементы, квадрат которых действителен, имеют вид aq с ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

Необходимо рассмотреть три случая, которые подробно описаны в следующих подразделах.

Нильпотентный случай

При указанных выше обозначениях, если (то есть, если q нильпотентно ), то N ( q ) = 0 , то есть, Это означает, что существуют w и t в такие, что 0 ≤ t < 2 π и ${\displaystyle q^{2}=0,}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .}$

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, недействительная часть которых нильпотентна.

Это также параметризация этих подалгебр точками окружности: расщепленные кватернионы формы образуют окружность ; подалгебра, порожденная нильпотентным элементом, содержит ровно одну точку окружности; а окружность не содержит никаких других точек. ${\displaystyle \mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k} }$

Алгебра, порождённая нильпотентным элементом, изоморфна и плоскости двойственных чисел . ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle }$

Мнимые единицы

Двуполостный гиперболоид, источник мнимых единиц

Это тот случай, когда N ( q ) > 0. Допустим , что есть ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Из этого следует, что ⁠1/н⁠ q принадлежит гиперболоиду из двух листов уравненияСледовательно, существуют действительные числа n , t , u такие, что 0 ≤ t < 2 π и ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, недействительная часть которых имеет положительную норму.

Это также параметризация соответствующих подалгебр парами противоположных точек двулистного гиперболоида: расщепленные кватернионы формы образуют двулистный гиперболоид; подалгебра, порождённая расщепленным кватернионом с невещественной частью положительной нормы, содержит ровно две противоположные точки на этом гиперболоиде, по одной на каждом листе; и гиперболоид не содержит никаких других точек. ${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

Алгебра, порождённая расщепленным кватернионом с невещественной частью положительной нормы, изоморфна и полю комплексных чисел . ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Гиперболические единицы

Однополостный гиперболоид, источник гиперболических единиц . ( В статье
вертикальная ось обозначена как x )

Это тот случай, когда N ( q ) < 0. Допустим , что есть ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Из этого следует, что ⁠1/н⁠ q принадлежит гиперболоиду одной полосы уравнения y ² + z ² − x ² = 1. Следовательно, существуют действительные числа n , t , u такие, что 0 ≤ t < 2 π и

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

Это параметризация всех расщепленных кватернионов, недействительная часть которых имеет отрицательную норму.

Это также параметризация соответствующих подалгебр парами противоположных точек однополостного гиперболоида: сплит-кватернионы вида образуют однополостный гиперболоид; подалгебра, порождённая сплит-кватернионом с невещественной частью отрицательной нормы, содержит ровно две противоположные точки на этом гиперболоиде; а гиперболоид не содержит никаких других точек. ${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

Алгебра , порожденная расщепленным кватернионом с невещественной частью отрицательной нормы, изоморфна и кольцу расщепленных комплексных чисел . Она также изоморфна (как алгебра) отображением, определяемым ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

Стратификация по норме

Как было показано выше, чисто недействительные расщепленные кватернионы нормы –1, 1 и 0 образуют соответственно однополостный гиперболоид, двухполостный гиперболоид и круговой конус в пространстве недействительных кватернионов.

Эти поверхности являются попарно асимптотическими и не пересекаются. Их дополнение состоит из шести связных областей:

• две области, расположенные на вогнутой стороне двуполостного гиперболоида, где ${\displaystyle N(q)>1}$
• две области между двуслойным гиперболоидом и конусом, где ${\displaystyle 0<N(q)<1}$
• область между конусом и однополостным гиперболоидом, где ${\displaystyle -1<N(q)<0}$
• область вне однополостного гиперболоида, где ${\displaystyle N(q)<-1}$

Эту стратификацию можно уточнить, рассмотрев расщепленные кватернионы фиксированной нормы: для каждого действительного числа n ≠ 0 чисто невещественные расщепленные кватернионы нормы n образуют гиперболоид. Все эти гиперболоиды являются асимптотами к указанному выше конусу, и ни одна из этих поверхностей не пересекает никакую другую. Поскольку множество чисто невещественных расщепленных кватернионов является несвязным объединением этих поверхностей, это обеспечивает желаемую стратификацию.

Цветовое пространство

Разделенные кватернионы были применены к цветовому балансу ^[3] Модель ссылается на йорданову алгебру симметричных матриц , представляющих алгебру. Модель примиряет трихроматию с оппонентностью Геринга и использует модель Кэли–Клейна гиперболической геометрии для хроматических расстояний.

Исторические заметки

Кокватернионы были первоначально введены (под этим названием) ^[4] в 1849 году Джеймсом Коклем в London–Edinburgh–Dublin Philosophical Magazine . Вводные статьи Коклемма были упомянуты в Библиографии 1904 года ^[5] Общества кватернионов .

Александр Макфарлейн назвал структуру векторов расщепленных кватернионов экссферической системой , когда он выступал на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. ^[6] Макфарлейн рассмотрел «гиперболоидальный аналог сферического анализа» в статье 1910 года «Унификация и развитие принципов алгебры пространства» в Бюллетене Общества кватернионов . [ ^7]

Единичная сфера была рассмотрена в 1910 году Гансом Беком. ^[8] Например, группа диэдра появляется на странице 419. Структура расщепленного кватерниона также кратко упоминалась в Annals of Mathematics . ^{[9] [10]}

Синонимы

• Паракватернионы (Иванов и Замковой 2005, Мохаупт 2006) Многообразия с паракватернионными структурами изучаются в дифференциальной геометрии и теории струн . В паракватернионной литературе k заменяется на −k .
• Эксферическая система (Макфарлейн 1900)
• Разделенные кватернионы (Розенфельд 1988) ^[11]
• Антикватернионы (Розенфельд 1988)
• Псевдокватернионы (Яглом 1968 ^[12] Розенфельд 1988)

Смотрите также

• Матрицы Паули
• Сплит-бикватернионы
• Сплит-октонионы
• Двойные кватернионы

Ссылки

1. Карцель, Хельмут и Гюнтер Кист (1985) «Кинематические алгебры и их геометрии», в Кольцах и геометрии , редакторы Р. Кайя, П. Плауманн и К. Штрамбах, стр. 437–509, особенно 449,50, Д. Рейдель ISBN  90-277-2112-2
2. Кевин Маккриммон (2004) Вкус йордановых алгебр , стр. 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924 
3. Мишель Бертье, Николетта Пренсипе и Эдуардо Провенци (2023) Разделение кватернионов для перцептивного баланса белого @ HAL
4. Джеймс Кокл (1849), О системах алгебры, включающих более одного воображаемого, Philosophical Magazine (серия 3) 35: 434,5, ссылка из Библиотеки наследия биоразнообразия
5. А. Макфарлейн (1904) Библиография кватернионов и смежных систем математики, из исторических математических монографий Корнеллского университета , записи Джеймса Кокла, стр. 17–18
6. А. Макфарлейн (1900) Применение пространственного анализа к криволинейным координатам Архивировано 10 августа 2014 г. в Wayback Machine , Труды Международного конгресса математиков , Париж, стр. 306, из Международного математического союза
7. А. Макфарлейн (1910) «Унификация и развитие принципов алгебры пространства» через Интернет-архив.
8. Ганс Бек (1910) Ein Seitenstück zur Mobius'schen Geometry der Kreisverwandschaften, Труды Американского математического общества 11
9. AA Albert (1942), «Квадратичные формы, допускающие композицию», Annals of Mathematics 43:161 to 77
10. Валентин Баргманн (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца», Annals of Mathematics 48: 568–640
11. Розенфельд, BA (1988) История неевклидовой геометрии , стр. 389, Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4 
12. Исаак Яглом (1968) Комплексные числа в геометрии , стр. 24, Academic Press

Дальнейшее чтение

• Броди, Дордже К. и Ева-Мария Грефе . "О комплексифицированной механике и кокватернионах". Журнал физики A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi :10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Иванов, Стефан; Замковой, Симеон (2005), «Параэрмитовы и паракватернионные многообразия», Дифференциальная геометрия и ее приложения 23 , стр. 205–234, arXiv :math.DG/0310415, MR 2158044.
• Мохаупт, Томас (2006), «Новые разработки в специальной геометрии», arXiv :hep-th/0602171.
• Оздемир, М. (2009) «Корни разделенного кватерниона», Applied Mathematics Letters 22:258–63. [1]
• Оздемир, М. и А.А. Эргин (2006) «Вращения с времениподобными кватернионами в трехмерном пространстве Минковского», Журнал геометрии и физики 56: 322–36.[2]
• Погоруй, Анатолий и Рамон М. Родригес-Даньино (2008) Некоторые алгебраические и аналитические свойства кокватернионной алгебры, Успехи в прикладной алгебре Клиффорда .