Разделительный набор

Свойство для наборов функций

В математике множество функций с областью определения называется разделяющим множеством для и говорят, что оно разделяет точки ( или просто разделяет точки ) , если для любых двух различных элементов и из существует функция такая, что ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle f\in S}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Разделение множеств может быть использовано для формулировки версии теоремы Стоуна–Вейерштрасса для вещественнозначных функций на компактном хаусдорфовом пространстве с топологией равномерной сходимости . Она утверждает, что любая подалгебра этого пространства функций плотна тогда и только тогда, когда она разделяет точки. Это версия теоремы, первоначально доказанная Маршаллом Х. Стоуном . ^[1] ${\displaystyle X,}$

Примеры

• Одноэлементный набор, состоящий из функции тождества , разделяет точки ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Если — нормальное топологическое пространство T1 , то лемма Урысона утверждает, что множество непрерывных функций на с действительными (или комплексными ) значениями разделяет точки на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Если — локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство над или , то из теоремы Хана–Банаха об отделимости следует, что непрерывные линейные функционалы на отдельных точках. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Двойная система

Ссылки

1. Carothers, NL (2000), Real Analysis, Cambridge University Press, стр. 201–204, ISBN 9781139643160.