Разложение Картана

Обобщенное матричное разложение для групп Ли и алгебр Ли

В математике разложение Картана — это разложение полупростой группы Ли или алгебры Ли , которое играет важную роль в их структурной теории и теории представлений . Оно обобщает полярное разложение или сингулярное разложение матриц. Его история восходит к работам 1880-х годов Эли Картана и Вильгельма Киллинга . ^[1]

Инволюции Картана на алгебрах Ли

Пусть — вещественная полупростая алгебра Ли и пусть — ее форма Киллинга . Инволюция в — это автоморфизм алгебры Ли , квадрат которого равен единице. Такая инволюция называется инволюцией Картана в , если — положительно определенная билинейная форма . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)}$

Две инволюции и считаются эквивалентными, если они отличаются только внутренним автоморфизмом . ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

Любая действительная полупростая алгебра Ли имеет инволюцию Картана, и любые две инволюции Картана эквивалентны.

Примеры

• Инволюция Картана на определяется соотношением , где обозначает транспонированную матрицу . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$ ${\displaystyle X^{T}}$ ${\displaystyle X}$
• Тождественное отображение на является инволюцией. Это единственная инволюция Картана тогда и только тогда, когда форма Киллинга отрицательно определена или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда является алгеброй Ли компактной полупростой группы Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Пусть — комплексификация вещественной полупростой алгебры Ли , тогда комплексное сопряжение на является инволюцией на . Это инволюция Картана на тогда и только тогда, когда — алгебра Ли компактной группы Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• Следующие отображения являются инволюциями алгебры Ли специальной унитарной группы SU(n) : ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$
  1. Инволюция тождества , которая в данном случае является единственной инволюцией Картана. ${\displaystyle \theta _{1}(X)=X}$
  2. Комплексное сопряжение , выражаемое как на . ${\displaystyle \theta _{2}(X)=-X^{T}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$
  3. Если нечетно, . Инволюции (1), (2) и (3) эквивалентны, но не эквивалентны тождественной инволюции, поскольку . ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle \theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)}$
  4. Если четное, то также есть . ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle \theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}}$

Картан пары

Пусть будет инволюцией на алгебре Ли . Так как , линейное отображение имеет два собственных значения . Если и обозначают собственные пространства, соответствующие +1 и -1 соответственно, то . Так как является автоморфизмом алгебры Ли, скобка Ли двух ее собственных пространств содержится в собственном пространстве, соответствующем произведению их собственных значений. Отсюда следует, что ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta ^{2}=1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$, , и . ${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$

Таким образом, является подалгеброй Ли, в то время как любая подалгебра коммутативна. ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Наоборот, разложение с этими дополнительными свойствами определяет инволюцию на , которая находится на и на . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Такая пара также называется парой Картана и называется симметричной парой . Это понятие пары Картана здесь не следует путать с отдельным понятием, включающим относительные когомологии алгебры Ли . ${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$ ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

Разложение, связанное с инволюцией Картана, называется разложением Картана . Особенностью разложения Картана является то, что форма Киллинга отрицательно определена на и положительно определена на . Кроме того, и являются ортогональными дополнениями друг друга относительно формы Киллинга на . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Разложение Картана на уровне группы Ли

Пусть — некомпактная полупростая группа Ли и ее алгебра Ли. Пусть — инволюция Картана на и пусть — полученная пара Картана. Пусть — аналитическая подгруппа с алгеброй Ли . Тогда: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

• Существует автоморфизм группы Ли с дифференциалом в единице, удовлетворяющий условию . ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta ^{2}=1}$
• Подгруппа элементов, фиксируемых с помощью , есть ; в частности, является замкнутой подгруппой. ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$
• Отображение, заданное как , является диффеоморфизмом . ${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle (k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)}$
• Подгруппа является максимальной компактной подгруппой группы G, если центр группы G конечен. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

Автоморфизм также называется глобальной инволюцией Картана , а диффеоморфизм называется глобальной декомпозицией Картана . Если мы запишем это, то скажем, что отображение произведения является диффеоморфизмом, поэтому . ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G}$ ${\displaystyle K\times P\rightarrow G}$ ${\displaystyle G=KP}$

Для общей линейной группы — инволюция Картана. ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle X\mapsto (X^{-1})^{T}}$

Уточнение разложения Картана для симметричных пространств компактного или некомпактного типа утверждает, что максимальные абелевы подалгебры в единственны с точностью до сопряжения посредством . Более того, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}.}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A.}}$

где . ${\displaystyle A=e^{\mathfrak {a}}}$

В компактном и некомпактном случае глобальное разложение Картана, таким образом, подразумевает

${\displaystyle G=KP=KAK,}$

Геометрически образ подгруппы в является вполне геодезическим подмногообразием. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G/K}$

Отношение к полярному разложению

Рассмотрим с инволюцией Картана . ^{[ необходимо пояснение ]} Тогда — вещественная алгебра Ли кососимметричных матриц, так что , а — подпространство симметричных матриц. Таким образом, экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом из на пространство положительно определенных матриц. С точностью до этого экспоненциального отображения глобальное разложение Картана является полярным разложением матрицы. Полярное разложение обратимой матрицы уникально. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle K=\mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Смотрите также

• Разложения групп Ли

Примечания

1. Кляйнер 2007

Ссылки

• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Чистая и прикладная математика, т. 80, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7, МР  0514561
• Кляйнер, Израиль (2007). Кляйнер, Израиль (ред.). История абстрактной алгебры . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. doi :10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0817646844. МР  2347309.
• Кнапп, Энтони В. (2005) [1996]. Группы Ли за пределами введения . Прогресс в математике. Т. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. МР  1920389.