Разложение Ивасавы

В математике разложение Ивасавы (также известное как KAN по его выражению) полупростой группы Ли обобщает способ, которым квадратная вещественная матрица может быть записана как произведение ортогональной матрицы и верхней треугольной матрицы ( QR-разложение , следствие ортогонализации Грама–Шмидта ). Оно названо в честь Кенкичи Ивасавы , японского математика , который разработал этот метод. ^[1]

Определение

• G — связная полупростая действительная группа Ли .
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$является алгеброй Ли группы G
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является комплексификацией .​ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• θ — инволюция Картана ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}}$соответствующее разложение Картана
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$является максимальной абелевой подалгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$
• Σ — множество ограниченных корней , соответствующих собственным значениям , действующего на . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• Σ ⁺ — выбор положительных корней Σ
• ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$— нильпотентная алгебра Ли, заданная как сумма корневых пространств Σ ⁺
• K , A , N , являются подгруппами Ли группы G, порожденными и . ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{0}}$

Тогда разложение Ивасавы имеет вид ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus {\mathfrak {n}}_{0}}$

и разложение Ивасавы для G равно

${\displaystyle G=KAN}$

это означает, что существует аналитический диффеоморфизм (но не групповой гомоморфизм) из многообразия в группу Ли , отправляющий . ${\displaystyle K\times A\times N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (k,a,n)\mapsto kan}$

Размерность A ( или эквивалентно ) равна действительному рангу G . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$

Разложения Ивасавы справедливы также для некоторых несвязных полупростых групп G , где K становится (несвязной) максимальной компактной подгруппой при условии, что центр G конечен.

Ограниченное разложение корневого пространства имеет вид

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {m}}_{0}\oplus {\mathfrak {a}}_{0}\oplus _{\lambda \in \Sigma }{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$

где — централизатор в , а — корневое пространство. Число называется кратностью . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{X\in {\mathfrak {g}}_{0}:[H,X]=\lambda (H)X\;\;\forall H\in {\mathfrak {a}}_{0}\}}$ ${\displaystyle m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Примеры

Если G = SL _n ( R ), то мы можем взять K как ортогональные матрицы, A как положительные диагональные матрицы с определителем 1, а N как унипотентную группу, состоящую из верхних треугольных матриц с единицами на диагонали.

Для случая n = 2 разложение Ивасавы для G = SL(2, R ) имеет вид

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

Для симплектической группы G = Sp(2n , R ) возможное разложение Ивасавы имеет вид

${\displaystyle \mathbf {K} =Sp(2n,\mathbb {R} )\cap SO(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ A+iB\in U(n)\right\}\cong U(n),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ D{\text{ positive, diagonal}}\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}N&M\\0&N^{-T}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\ |\ N{\text{ upper triangular with diagonal elements = 1}},\ NM^{T}=MN^{T}\right\}.}$

Неархимедово разложение Ивасавы

Существует аналог приведенного выше разложения Ивасавы для неархимедова поля : В этом случае группу можно записать в виде произведения подгруппы верхнетреугольных матриц и (максимальной компактной) подгруппы , где — кольцо целых чисел . [ ^2] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle GL_{n}(F)}$ ${\displaystyle GL_{n}(O_{F})}$ ${\displaystyle O_{F}}$ ${\displaystyle F}$

Смотрите также

• Разложения групп Ли
• Корневая система полупростой алгебры Ли

Ссылки

1. Ивасава, Кенкичи (1949). «О некоторых типах топологических групп». Annals of Mathematics . 50 (3): 507–558. doi :10.2307/1969548. JSTOR  1969548.
2. Bump, Daniel (1997), Автоморфные формы и представления , Кембридж: Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511609572, ISBN 0-521-55098-X, Предложение 4.5.2

• Феденко, А.С.; Штерн, А.И. (2001) [1994], "Разложение Ивасавы", Энциклопедия математики , EMS Press
• Кнапп, AW (2002). Группы Ли после введения (2-е изд.). ISBN 9780817642594.