В абстрактной алгебре ряд композиций предоставляет способ разбить алгебраическую структуру , такую как группа или модуль , на простые части. Необходимость рассмотрения рядов композиций в контексте модулей возникает из-за того, что многие естественно встречающиеся модули не являются полупростыми , следовательно, не могут быть разложены в прямую сумму простых модулей . Ряд композиций модуля M — это конечная возрастающая фильтрация M подмодулями , такая, что последовательные факторы являются простыми , и служит заменой разложения прямой суммы M на его простые составляющие.
Композиционный ряд может не существовать, а когда он существует, он не обязан быть единственным. Тем не менее, группа результатов, известная под общим названием теоремы Жордана–Гёльдера, утверждает, что всякий раз, когда композиционный ряд существует, классы изоморфизма простых частей (хотя, возможно, и не их местоположение в рассматриваемом композиционном ряду) и их кратности определяются однозначно. Таким образом, композиционный ряд может быть использован для определения инвариантов конечных групп и артиновых модулей .
Связанное, но отличное понятие — главный ряд : композиционный ряд — это максимальный субнормальный ряд , в то время как главный ряд — это максимальный нормальный ряд .
Если группа G имеет нормальную подгруппу N , то может быть образована фактор-группа G / N , и некоторые аспекты изучения структуры G могут быть разбиты путем изучения «меньших» групп G / N и N . Если G не имеет нормальной подгруппы, отличной от G и от тривиальной группы, то G является простой группой . В противном случае естественно возникает вопрос, можно ли свести G к простым «частям», и если да, то есть ли какие-либо уникальные особенности способа, которым это можно сделать?
Более формально, композиционный ряд группы G — это субнормальный ряд конечной длины .
со строгими включениями, такими что каждая H i является максимальной собственной нормальной подгруппой H i +1 . Эквивалентно, композиционный ряд является субнормальным рядом, таким что каждая фактор-группа H i +1 / H i является простой . Фактор-группы называются композиционными факторами .
Субнормальный ряд является композиционным рядом тогда и только тогда, когда он имеет максимальную длину. То есть, нет дополнительных подгрупп, которые можно было бы «вставить» в композиционный ряд. Длина n ряда называется композиционной длиной .
Если для группы G существует композиционный ряд , то любой субнормальный ряд группы G может быть уточнен до композиционного ряда, неформально, путем вставки подгрупп в ряд вплоть до максимальности. Каждая конечная группа имеет композиционный ряд, но не каждая бесконечная группа имеет его. Например, не имеет композиционного ряда.
Группа может иметь более одного композиционного ряда. Однако теорема Жордана–Гёльдера (названная в честь Камиля Жордана и Отто Гёльдера ) утверждает, что любые два композиционных ряда данной группы эквивалентны. То есть они имеют одинаковую длину композиции и одинаковые композиционные факторы с точностью до перестановки и изоморфизма . Эту теорему можно доказать с помощью теоремы Шрайера об уточнении . Теорема Жордана–Гёльдера также верна для трансфинитных восходящих композиционных рядов, но не для трансфинитных нисходящих композиционных рядов (Birkhoff 1934). Баумслаг (2006) дает краткое доказательство теоремы Жордана–Гёльдера, пересекая члены одного субнормального ряда с членами другого ряда.
Для циклической группы порядка n ряды композиций соответствуют упорядоченным разложениям числа n на простые множители и фактически дают доказательство основной теоремы арифметики .
Например, циклическая группа имеет и как три различных ряда состава. Последовательности факторов состава, полученные в соответствующих случаях, и
Определение композиционного ряда для модулей ограничивает все внимание подмодулями, игнорируя все аддитивные подгруппы, которые не являются подмодулями. Если задано кольцо R и R -модуль M , композиционный ряд для M является рядом подмодулей
где все включения строгие и J k является максимальным подмодулем J k +1 для каждого k . Что касается групп, если M вообще имеет композиционный ряд, то любой конечный строго возрастающий ряд подмодулей M может быть уточнен до композиционного ряда, и любые два композиционных ряда для M эквивалентны. В этом случае (простые) фактор-модули J k +1 / J k известны как композиционные факторы M , и теорема Жордана–Гёльдера верна, гарантируя, что число вхождений каждого типа изоморфизма простого R -модуля в качестве композиционного фактора не зависит от выбора композиционного ряда.
Хорошо известно [1] , что модуль имеет конечный композиционный ряд тогда и только тогда, когда он является как артиновым , так и нётеровым модулем . Если R — артиново кольцо , то каждый конечно порождённый R -модуль является артиновым и нётеровым, и, таким образом, имеет конечный композиционный ряд. В частности, для любого поля K любой конечномерный модуль для конечномерной алгебры над K имеет композиционный ряд, единственный с точностью до эквивалентности.
Группы с набором операторов обобщают групповые действия и кольцевые действия на группе. Единый подход к группам и модулям можно использовать, как в (Bourbaki 1974, Ch. 1) или (Isaacs 1994, Ch. 10), упрощая часть изложения. Группа G рассматривается как подвергающаяся действию элементов (операторов) из множества Ω. Внимание полностью ограничивается подгруппами, инвариантными относительно действия элементов из Ω, называемыми Ω-подгруппами. Таким образом, ряды Ω-композиции должны использовать только Ω-подгруппы, а факторы Ω-композиции должны быть только Ω-простыми. Стандартные результаты выше, такие как теорема Жордана–Гёльдера, устанавливаются с помощью почти идентичных доказательств.
Особые случаи включают случай, когда Ω = G , так что G действует на себя. Важным примером этого является случай, когда элементы G действуют сопряжением, так что набор операторов состоит из внутренних автоморфизмов . Композиционный ряд при этом действии — это в точности главный ряд . Модульные структуры являются случаем Ω-действий, где Ω — кольцо и выполняются некоторые дополнительные аксиомы.
Композиционная серия объекта A в абелевой категории — это последовательность подобъектов
так что каждый факторный объект X i / X i + 1 является простым (для 0 ≤ i < n ). Если A имеет композиционный ряд, то целое число n зависит только от A и называется длиной A . [2]
