Неразложимое распределение

Распределение вероятностей

В теории вероятностей неразложимое распределение — это распределение вероятностей , которое не может быть представлено как распределение суммы двух или более непостоянных независимых случайных величин : Z  ≠  X  +  Y. Если его можно так выразить, то оно разложимо: Z  =  X  +  Y. Если, далее, его можно выразить как распределение суммы двух или более независимых одинаково распределенных случайных величин, то оно делимо: Z  =  X ₁  +  X ₂ .

Примеры

Неразложимый

• Простейшими примерами являются распределения Бернулли : если

${\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{with probability }}p,\\0&{\text{with probability }}1-p,\end{cases}}}$

тогда распределение вероятностей X неразложимо.

Доказательство: Если заданы непостоянные распределения U и V, так что U принимает по крайней мере два значения a ,  b , а V принимает два значения c ,  d, причем a  <  b и c  <  d , то U  +  V принимает по крайней мере три различных значения: a  +  c , a  +  d , b  +  d ( b  +  c может быть равно a  +  d , например, если использовать 0, 1 и 0, 1). Таким образом, сумма непостоянных распределений принимает по крайней мере три значения, поэтому распределение Бернулли не является суммой непостоянных распределений.

• Предположим, что a  +  b  +  c  = 1, a ,  b ,  c  ≥ 0 и

${\displaystyle X={\begin{cases}2&{\text{with probability }}a,\\1&{\text{with probability }}b,\\0&{\text{with probability }}c.\end{cases}}}$

Это распределение вероятностей разложимо (как распределение суммы двух случайных величин , распределенных по закону Бернулли ), если

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1\ }$

и в противном случае неразложимы. Чтобы увидеть это, предположим, что U и V — независимые случайные величины, а U  +  V имеет это распределение вероятностей. Тогда мы должны иметь

${\displaystyle {\begin{matrix}U={\begin{cases}1&{\text{with probability }}p,\\0&{\text{with probability }}1-p,\end{cases}}&{\mbox{and}}&V={\begin{cases}1&{\text{with probability }}q,\\0&{\text{with probability }}1-q,\end{cases}}\end{matrix}}}$

для некоторых p ,  q  ∈ [0, 1], по рассуждениям, аналогичным случаю Бернулли (иначе сумма U  +  V примет более трех значений). Отсюда следует, что

${\displaystyle a=pq,\,}$

${\displaystyle c=(1-p)(1-q),\,}$

${\displaystyle b=1-a-c.\,}$

Эта система двух квадратных уравнений с двумя переменными p и q имеет решение ( p ,  q ) ∈ [0, 1] ² тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1.\ }$

Так, например, дискретное равномерное распределение на множестве {0, 1, 2} неразложимо, но биномиальное распределение для двух испытаний, каждое из которых имеет вероятность 1/2, что дает соответствующие вероятности a, b, c как 1/4, 1/2, 1/4, разложимо.

• Абсолютно непрерывное неразложимое распределение. Можно показать, что распределение, плотность распределения которого равна

${\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \,}}}x^{2}e^{-x^{2}/2}}$

неразложим.

Разлагаемый

• Все бесконечно делимые распределения a fortiori разложимы; в частности, это касается устойчивых распределений , таких как нормальное распределение .
• Равномерное распределение на интервале [0, 1] разложимо, поскольку оно представляет собой сумму переменной Бернулли, которая принимает 0 или 1/2 с равными вероятностями, и равномерного распределения на [0, 1/2]. Итерация этого дает бесконечное разложение:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{X_{n} \over 2^{n}},}$

где независимые случайные величины X _n равны 0 или 1 с равными вероятностями – это испытание Бернулли каждой цифры двоичного разложения.

• Сумма неразложимых случайных величин разложима на исходные слагаемые. Но она может оказаться бесконечно делимой . Предположим, что случайная величина Y имеет геометрическое распределение

${\displaystyle \Pr(Y=n)=(1-p)^{n}p\,}$

на {0, 1, 2, ...}.

Для любого положительного целого числа k существует последовательность отрицательно-биномиально распределенных случайных величин Y _j , j = 1, ..., k , такая, что Y ₁  + ... +  Y _k имеет это геометрическое распределение. ^{[ необходима ссылка ]} Следовательно, это распределение бесконечно делимо.

С другой стороны, пусть D _n будет n-й двоичной цифрой числа Y , для n ≥ 0. Тогда D _n независимы ^{[ почему? ]} и

${\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}D_{n},}$

и каждый член этой суммы неразложим.

Связанные концепции

Другая крайность неразложимости — бесконечная делимость .

• Теорема Крамера показывает, что хотя нормальное распределение бесконечно делимо, его можно разложить только на нормальные распределения.
• Теорема Кохрана показывает, что члены разложения суммы квадратов нормальных случайных величин на суммы квадратов линейных комбинаций этих величин всегда имеют независимые распределения хи-квадрат .

Смотрите также

• Теорема Крамера
• Теорема Кохрана
• Бесконечная делимость (вероятность)
• Теорема Хинчина о факторизации распределений

Ссылки

• Линник, Ю. В. и Островский, И. В. Разложение случайных величин и векторов , Amer. Math. Soc., Providence RI, 1977.

• Лукач, Юджин, Характеристические функции , Нью-Йорк, Hafner Publishing Company, 1970.