Распределение вероятностей
В теории вероятностей неразложимое распределение — это распределение вероятностей , которое нельзя представить как распределение суммы двух или более непостоянных независимых случайных величин : Z ≠ X + Y. Если это можно так выразить, то оно разложимо : Z = X + Y. Если, кроме того, его можно выразить как распределение суммы двух или более независимых одинаково распределенных случайных величин, то оно делится: Z = X 1 + X 2 .
Примеры
Неразложимый
![{\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{с вероятностью }}p,\\0&{\text{с вероятностью }}1-p,\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- тогда распределение вероятностей X неразложимо.
- Доказательство: учитывая непостоянные распределения U и V, так что U принимает как минимум два значения a , b и V принимает два значения c , d, с a < b и c < d , тогда U + V принимает как минимум три различных значения. : a + c , a + d , b + d ( b + c может быть равно a + d , например, если используется 0, 1 и 0, 1). Таким образом, сумма непостоянных распределений принимает как минимум три значения, поэтому распределение Бернулли не является суммой непостоянных распределений.
- Предположим, a + b + c = 1, a , b , c ≥ 0 и
![{\displaystyle X={\begin{cases}2&{\text{с вероятностью }}a,\\1&{\text{с вероятностью }}b,\\0&{\text{с вероятностью }}c.\end {случаи}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Это распределение вероятностей разложимо (как распределение суммы двух случайных величин , распределенных по Бернулли ), если
![{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- и в остальном неразложим. Чтобы увидеть это, предположим, что U и V — независимые случайные величины, и U + V имеет такое распределение вероятностей. Тогда мы должны иметь
![{\displaystyle {\begin{matrix}U={\begin{cases}1&{\text{с вероятностью }}p,\\0&{\text{с вероятностью }}1-p,\end{cases}}& {\mbox{and}}&V={\begin{cases}1&{\text{с вероятностью }}q,\\0&{\text{с вероятностью }}1-q,\end{cases}}\end{ матрица}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- для некоторых p , q ∈ [0, 1] по рассуждениям, аналогичным случаю Бернулли (иначе сумма U + V примет более трех значений). Следует, что
![{\displaystyle a=pq,\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle c = (1-p) (1-q), \,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b=1-ac.\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Эта система двух квадратных уравнений с двумя переменными p и q имеет решение ( p , q ) ∈ [0, 1] 2 тогда и только тогда, когда
![{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {c}}\leq 1.\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Так, например, дискретное равномерное распределение на множестве {0, 1, 2} неразложимо, но биномиальное распределение для двух испытаний, каждое из которых имеет вероятности 1/2, что дает соответствующие вероятности a, b, c как 1/4, 1/2, 1/4 разложимы.
![{\displaystyle f(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \,}}}x^{2}e^{-x^{2}/2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- является неразложимым.
Разборный
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{X_{n} \over 2^{n}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- где каждая из независимых случайных величин X n равна 0 или 1 с равными вероятностями – это испытание Бернулли каждой цифры двоичного разложения.
![{\displaystyle \Pr(Y=n)=(1-p)^{n}p\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- на {0, 1, 2, ...}.
- Для любого положительного целого числа k существует последовательность отрицательно-биномиально распределенных случайных величин Y j , j = 1, ..., k , такая, что Y 1 + ... + Y k имеет это геометрическое распределение. [ нужна цитата ] Следовательно, это распределение бесконечно делимо.
- С другой стороны, пусть D n будет n- й двоичной цифрой Y для n ≥ 0. Тогда D n независимы [ почему? ] и
![{\displaystyle Y=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}D_{n},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- и каждое слагаемое этой суммы неразложимо.
Связанные понятия
Другой крайностью неразложимости является бесконечная делимость .
- Теорема Крамера показывает, что, хотя нормальное распределение бесконечно делимо, его можно разложить только на нормальные распределения.
- Теорема Кохрана показывает, что члены разложения суммы квадратов нормальных случайных величин в суммы квадратов линейных комбинаций этих переменных всегда имеют независимые распределения хи-квадрат .
Смотрите также
Рекомендации
- Линник, Ю. В., Островский И. В. Разложение случайных величин и векторов , Амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1977.
- Лукач, Юджин, Характеристические функции , Нью-Йорк, издательство Hafner Publishing Company, 1970.