Когомологическая размерность

В абстрактной алгебре когомологическая размерность — это инвариант группы , который измеряет гомологическую сложность ее представлений. Она имеет важные приложения в геометрической теории групп , топологии и алгебраической теории чисел .

Когомологическая размерность группы

Как и большинство когомологических инвариантов, когомологическая размерность включает выбор «кольца коэффициентов» R , с выдающимся частным случаем, заданным , кольцом целых чисел . Пусть G — дискретная группа , R — ненулевое кольцо с единицей, а групповое кольцо . Группа G имеет когомологическую размерность, меньшую или равную n , обозначаемую , если тривиальный -модуль R имеет проективную резольвенту длины n , т.е. существуют проективные -модули и -модульные гомоморфизмы и , такие, что образ совпадает с ядром для , а ядро ​​тривиально. ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle \operatorname {cd} _{R}(G)\leq n}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle P_{0},\dots ,P_{n}}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle d_{k}\colon P_{k}\to P_{k-1}(k=1,\dots ,n)}$ ${\displaystyle d_{0}\colon P_{0}\to R}$ ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle d_{k-1}}$ ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle d_{n}}$

Эквивалентно, когомологическая размерность меньше или равна n , если для произвольного -модуля M когомологии G с коэффициентами в M обращаются в нуль в степенях , то есть всякий раз , когда . P -когомологическая размерность для простого p определяется аналогичным образом в терминах p -торсионных групп . [ ^1] ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle H^{k}(G,M)=0}$ ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle H^{k}(G,M){p}}$

Наименьшее n, при котором когомологическая размерность группы G меньше или равна n, является когомологической размерностью группы G (с коэффициентами R ), которая обозначается . ${\displaystyle n=\operatorname {cd} _{R}(G)}$

Свободное разрешение может быть получено из свободного действия группы G на стягиваемом топологическом пространстве X. В частности, если X является стягиваемым CW-комплексом размерности n со свободным действием дискретной группы G, которая переставляет ячейки, то . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {cd} _{\mathbb {Z} }(G)\leq n}$

Примеры

В первой группе примеров пусть кольцо R коэффициентов будет . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Свободная группа имеет когомологическую размерность один. Как показали Джон Столлингс (для конечно порождённой группы) и Ричард Свон (в полной общности), это свойство характеризует свободные группы. Этот результат известен как теорема Столлингса–Свона. ^[2] Теорема Столлингса–Свона для группы G гласит, что G свободна тогда и только тогда, когда каждое расширение G с абелевым ядром расщепляется. ^[3]
• Фундаментальная группа компактной , связной , ориентируемой римановой поверхности, отличной от сферы, имеет когомологическую размерность два.
• В более общем случае фундаментальная группа замкнутого, связного, ориентируемого асферического многообразия размерности n имеет когомологическую размерность n . В частности, фундаментальная группа замкнутого ориентируемого гиперболического n -многообразия имеет когомологическую размерность n .
• Нетривиальные конечные группы имеют бесконечную когомологическую размерность над . В более общем случае то же самое верно для групп с нетривиальным кручением . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Теперь рассмотрим случай общего кольца R.

• Группа G имеет когомологическую размерность 0 тогда и только тогда, когда ее групповое кольцо полупросто . Таким образом , конечная группа имеет когомологическую размерность 0 тогда и только тогда, когда ее порядок (или , что эквивалентно, порядки ее элементов) обратим в R. ${\displaystyle RG}$
• Обобщив теорему Столлингса–Свона для , Мартин Данвуди доказал, что группа имеет когомологическую размерность не более единицы над произвольным кольцом R тогда и только тогда, когда она является фундаментальной группой связного графа конечных групп, порядки которых обратимы в R . ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

Когомологическая размерность поля

P -когомологическая размерность поля K — это p -когомологическая размерность группы Галуа сепарабельного замыкания поля K. ^[4] Когомологическая размерность поля K — это супремум p -когомологической размерности по всем простым числам p . ^[5]

Примеры

• Каждое поле ненулевой характеристики p имеет p -когомологическую размерность не более 1. ^[6]
• Каждое конечное поле имеет абсолютную группу Галуа, изоморфную и, таким образом, имеет когомологическую размерность 1. ^[7] ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$
• Поле формальных рядов Лорана над алгебраически замкнутым полем k нулевой характеристики также имеет абсолютную группу Галуа, изоморфную и, следовательно, когомологическую размерность 1. ^[7] ${\displaystyle k((t))}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$

Смотрите также

• Гипотеза Эйленберга-Ганеа
• Групповые когомологии
• Глобальное измерение

Ссылки

1. Гилле и Самуэли (2006) стр.136
2. Баумслаг, Гилберт (2012). Темы комбинаторной теории групп. Springer Basel AG. стр. 16.
3. Грюнберг, Карл В. (1975). «Обзор гомологии в теории групп Урса Штаммбаха». Бюллетень Американского математического общества . 81 : 851–854. doi : 10.1090/S0002-9904-1975-13858-4 .
4. Шац (1972) стр.94
5. Гилле и Самуэли (2006) стр.138
6. Гилле и Самуэли (2006) стр.139
7. Gille & Szamuely (2006) стр.140

• Браун, Кеннет С. (1994). Когомологии групп . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 87 (Исправленное переиздание оригинального издания 1982 года). New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90688-6. MR  1324339. Zbl  0584.20036.
• Дикс, Уоррен (1980). Группы, деревья и проективные модули . Конспект лекций по математике. Том 790. Берлин: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0088140. ISBN 3-540-09974-3. MR  0584790. Zbl  0427.20016.
• Dydak, Jerzy (2002). "Когомологическая теория размерности". В Daverman, RJ (ред.). Справочник по геометрической топологии . Амстердам: Северная Голландия . С. 423–470. ISBN 0-444-82432-4. MR  1886675. Zbl  0992.55001.
• Жилль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Збл  1137.12001.
• Серр, Жан-Пьер (1997). Когомологии Галуа . Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-61990-9. Збл  0902.12004.
• Шатц, Стивен С. (1972). Проконечные группы, арифметика и геометрия . Annals of Mathematics Studies. Том 67. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . ISBN 0-691-08017-8. MR  0347778. Zbl  0236.12002.
• Столлингс, Джон Р. (1968). «О группах без кручения с бесконечным числом концов». Annals of Mathematics . Вторая серия. 88 : 312–334. doi :10.2307/1970577. ISSN  0003-486X. MR  0228573. Zbl  0238.20036.
• Свон, Ричард Г. (1969). «Группы когомологической размерности один». Журнал алгебры . 12 : 585–610. doi : 10.1016/0021-8693(69)90030-1 . ISSN  0021-8693. MR  0240177. Zbl  0188.07001.