измерение Кодаира

В алгебраической геометрии размерность Кодаиры κ ( X ) измеряет размер канонической модели проективного многообразия  X .

Игорь Шафаревич на семинаре представил важный числовой инвариант поверхностей с обозначением κ . ^[1] Сигэру Иитака расширил его и определил размерность Кодаиры для многообразий более высокой размерности (под названием канонической размерности), ^[2] а позже назвал его в честь Кунихико Кодаиры . ^[3]

Множественные

Каноническое расслоение гладкого алгебраического многообразия X размерности n над полем — это линейное расслоение n -форм ,

${\displaystyle \,\!K_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X}^{1},}$

что является n-й внешней степенью кокасательного расслоения X. Для целого числа d d - я тензорная степень K _X снова является линейным расслоением. При d ≥ 0 векторное пространство глобальных сечений H ⁰ ( X , K _X ^d ) обладает замечательным свойством, заключающимся в том, что оно является бирациональным инвариантом гладких проективных многообразий X . То есть это векторное пространство канонически отождествляется с соответствующим пространством для любого гладкого проективного многообразия, которое изоморфно X вне подмножеств меньшей размерности.

Для d ≥ 0 d- й плюригенус X определяется как размерность векторного пространства глобальных сечений K _X ^d :

${\displaystyle P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\dim H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

Плюригенеры являются важными бирациональными инвариантами алгебраического многообразия. В частности, простейший способ доказать, что многообразие не рационально (то есть не бирационально проективному пространству), состоит в том, чтобы показать, что некоторый плюригенус P _d с d > 0 не равен нулю. Если пространство сечений K _X ^d не равно нулю, то существует естественное рациональное отображение из X в проективное пространство

${\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P} ^{P_{d}-1},}$

называется d - каноническим отображением . Каноническое кольцо R ( K _X ) многообразия X — это градуированное кольцо

${\displaystyle R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

См. также геометрический род и арифметический род .

Размерность Кодаиры многообразия X определяется как , если плюригенеры P _d равны нулю для всех d > 0; в противном случае это минимальное κ такое, что P _d /d ^κ ограничено. Размерность Кодаиры n -мерного многообразия равна или целому числу в диапазоне от 0 до n . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Интерпретации измерения Кодаиры

Следующие целые числа равны, если они неотрицательны. Хорошей ссылкой является Lazarsfeld (2004), Theorem 2.1.33.

• Размерность конструкции Proj , проективного многообразия, называемого канонической моделью X , зависит только от класса бирациональной эквивалентности X. (Это определено только в том случае, если каноническое кольцо конечно порождено, что верно в нулевой характеристике и предполагается в общем случае.) ${\displaystyle \operatorname {Proj} R(K_{X})}$ ${\displaystyle R=R(K_{X})}$
• Размерность образа d -канонического отображения для всех положительных кратных d некоторого положительного целого числа . ${\displaystyle d_{0}}$
• Степень трансцендентности дробного поля R , минус один; т.е. , где t — число алгебраически независимых генераторов, которые можно найти. ${\displaystyle t-1}$
• Скорость роста плюригенеров: то есть наименьшее число κ, такое что ограничено. В нотации Big O это минимальное κ, такое что . ${\displaystyle P_{d}/d^{\kappa }}$ ${\displaystyle P_{d}=O(d^{\kappa })}$

Когда одно из этих чисел не определено или отрицательно, то все они отрицательны. В этом случае говорят, что размерность Кодаиры отрицательна или равна . Некоторые исторические ссылки определяют ее как −1, но тогда формула не всегда выполняется, и утверждение гипотезы Иитаки становится более сложным. Например, размерность Кодаиры равна для всех многообразий  X . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \kappa (X\times Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times X}$ ${\displaystyle -\infty }$

Приложение

Размерность Кодаиры дает полезное грубое разделение всех алгебраических многообразий на несколько классов.

Сорта с низкой размерностью Кодаиры можно считать специальными, тогда как сорта с максимальной размерностью Кодаиры считаются сортами общего типа.

Геометрически существует очень грубое соответствие между размерностью Кодаиры и кривизной: отрицательная размерность Кодаиры соответствует положительной кривизне, нулевая размерность Кодаиры соответствует плоскостности, а максимальная размерность Кодаиры (общий тип) соответствует отрицательной кривизне.

Специальность многообразий низкой размерности Кодаиры аналогична специальности римановых многообразий положительной кривизны (а общий тип соответствует типичности неположительной кривизны); см. классические теоремы , особенно о сжатой секционной кривизне и положительной кривизне .

Ниже эти утверждения конкретизируются.

Измерение 1

Гладкие проективные кривые дискретно классифицируются по роду , который может быть любым натуральным числом g = 0, 1, ....

Здесь «дискретно классифицированный» означает, что для данного рода существует неприводимое пространство модулей кривых этого рода.

Размерность Кодаиры кривой X равна:

• κ = : род 0 ( проективная прямая P ¹ ): K _X не эффективен, P _d = 0 для всех d > 0 . ${\displaystyle -\infty }$
• κ = 0: род 1 ( эллиптические кривые ): K _X — тривиальное расслоение , P _d = 1 для всех d ≥ 0.
• κ = 1: род g ≥ 2: K _X обилен , P _d = (2 d  − 1)( g −  1) для всех  d  ≥ 2.

Сравните с теоремой об униформизации для поверхностей (действительных поверхностей, поскольку комплексная кривая имеет действительную размерность 2): размерность Кодаиры соответствует положительной кривизне, размерность Кодаиры 0 соответствует плоскости, размерность Кодаиры 1 соответствует отрицательной кривизне. Обратите внимание, что большинство алгебраических кривых имеют общий тип: в пространстве модулей кривых две связные компоненты соответствуют кривым не общего типа, в то время как все остальные компоненты соответствуют кривым общего типа. Кроме того, пространство кривых рода 0 является точкой, пространство кривых рода 1 имеет (комплексную) размерность 1, а пространство кривых рода g  ≥ 2 имеет размерность 3 g  − 3. ${\displaystyle -\infty }$

Измерение 2

Классификация Энриквеса –Кодайры классифицирует алгебраические поверхности: грубо по размерности Кодаиры, затем более подробно в пределах заданной размерности Кодаиры. Приведем несколько простых примеров: произведение P ¹ × X имеет размерность Кодаиры для любой кривой X ; произведение двух кривых рода 1 (абелева поверхность) имеет размерность Кодаиры 0; произведение кривой рода 1 на кривую рода не менее 2 (эллиптическая поверхность) имеет размерность Кодаиры 1; а произведение двух кривых рода не менее 2 имеет размерность Кодаиры 2 и, следовательно, является общего типа. ${\displaystyle -\infty }$

Для поверхности X общего типа образ d -канонического отображения бирационален X, если  d  ≥ 5.

Любое измерение

Рациональные многообразия (многообразия, бирациональные проективному пространству) имеют размерность Кодаиры . Абелевы многообразия (компактные комплексные торы, которые проективны) имеют размерность Кодаиры нулевую. В более общем смысле, многообразия Калаби–Яу (в размерности 1 — эллиптические кривые ; в размерности 2 — абелевы поверхности , поверхности K3 и факторы этих многообразий по конечным группам) имеют размерность Кодаиры нулевую (соответствующую допущению плоских метрик Риччи). ${\displaystyle -\infty }$

Любое многообразие в нулевой характеристике, которое покрыто рациональными кривыми (неконстантными отображениями из P ¹ ), называемое унилинейчатым многообразием, имеет размерность Кодаиры −∞. Наоборот, основные гипотезы теории минимальных моделей (в частности, гипотеза об изобилии) подразумевают, что каждое многообразие размерности Кодаиры −∞ является унилинейчатым. Это обратное известно для многообразий размерности не более 3.

Сиу (2002) доказал инвариантность плюриродов относительно деформаций для всех гладких комплексных проективных многообразий. В частности, размерность Кодаиры не меняется, когда комплексная структура многообразия непрерывно изменяется.

Расслоение нормальных проективных многообразий X → Y означает сюръективный морфизм со связными слоями .

Для 3-кратного X общего типа образ d -канонического отображения бирационален X, если d ≥ 61. ^[4]

Общий тип

Разнообразие общего типа X имеет максимальную размерность Кодаиры (размерность Кодаиры равна его размерности):

${\displaystyle \kappa (X)=\dim X.}$

Эквивалентными условиями являются то, что линейное расслоение является большим , или что d -каноническое отображение является генерически инъективным (то есть бирациональным отображением в свой образ) для достаточно большого d . ${\displaystyle K_{X}}$

Например, многообразие с обильным каноническим пучком имеет общий тип.

В некотором смысле большинство алгебраических многообразий имеют общий тип. Например, гладкая гиперповерхность степени d в n -мерном проективном пространстве имеет общий тип тогда и только тогда, когда . В этом смысле большинство гладких гиперповерхностей в проективном пространстве имеют общий тип. ${\displaystyle d>n+1}$

Многообразия общего типа кажутся слишком сложными для явной классификации, даже для поверхностей. Тем не менее, есть некоторые сильные положительные результаты о многообразиях общего типа. Например, Энрико Бомбьери показал в 1973 году, что d -каноническое отображение любой комплексной поверхности общего типа является бирациональным для любого . В более общем смысле, Кристофер Хакон и Джеймс МакКернан , Сигехару Такаяма и Хадзимэ Цудзи показали в 2006 году, что для каждого положительного целого числа n существует константа такая, что d -каноническое отображение любого комплексного n -мерного многообразия общего типа является бирациональным, когда . ${\displaystyle d\geq 5}$ ${\displaystyle c(n)}$ ${\displaystyle d\geq c(n)}$

Группа бирациональных автоморфизмов многообразия общего типа конечна.

Применение к классификации

Пусть X — многообразие неотрицательной размерности Кодаиры над полем нулевой характеристики, и пусть B — каноническая модель X , B = Proj R ( X , K _X ); размерность B равна размерности Кодаиры X . Существует естественное рациональное отображение X – → B ; любой морфизм, полученный из него раздутием X и B , называется расслоением Иитаки . Гипотезы минимальной модели и обилия подразумевают, что общее волокно расслоения Иитаки может быть устроено так, чтобы быть многообразием Калаби–Яу , которое, в частности, имеет нулевую размерность Кодаиры. Более того, существует эффективный Q -дивизор Δ на B (не единственный), такой, что пара ( B , Δ) является klt , K _B + Δ обильно, и каноническое кольцо X совпадает с каноническим кольцом ( B , Δ) в степенях, кратных некоторому d > 0. ^[5] В этом смысле X разлагается в семейство многообразий размерности Кодаиры ноль над базой ( B , Δ) общего типа. (Заметим, что многообразие B само по себе не обязательно должно быть общего типа. Например, существуют поверхности размерности Кодаиры 1, для которых расслоение Иитаки является эллиптическим расслоением над P ¹ .)

Учитывая упомянутые гипотезы, классификация алгебраических многообразий в значительной степени сводится к случаям размерности Кодаиры , 0 и общего типа. Для размерности Кодаиры и 0 существуют некоторые подходы к классификации. Гипотезы минимальной модели и обилия подразумевают, что каждое многообразие размерности Кодаиры является унилинейчатым , и известно, что каждое унилинейчатое многообразие в нулевой характеристике бирационально расслоенному пространству Фано . Гипотезы минимальной модели и обилия подразумевают, что каждое многообразие размерности Кодаиры 0 бирационально многообразию Калаби-Яу с терминальными сингулярностями . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Гипотеза Иитаки утверждает, что размерность Кодаиры расслоения равна по крайней мере сумме размерности Кодаиры базы и размерности Кодаиры общего волокна; см. обзор Mori (1987). Гипотеза Иитаки помогла вдохновить разработку теории минимальных моделей в 1970-х и 1980-х годах. Сейчас она известна во многих случаях и в целом следует из гипотез минимальной модели и избыточности.

Связь с многообразиями Мойшезона

Накамура и Уэно доказали следующую формулу аддитивности для комплексных многообразий (Ueno (1975)). Хотя базовое пространство не обязательно должно быть алгебраическим, предположение о том, что все слои изоморфны, является весьма специальным. Даже при этом предположении формула может не сработать, если слой не является Мойшезоновым.

Пусть π: V → W — аналитическое расслоение компактных комплексных многообразий, что означает, что π локально является произведением (и поэтому все слои изоморфны как комплексные многообразия). Предположим, что слой F — многообразие Мойшезона . Тогда

${\displaystyle \kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W).}$

Смотрите также

• Список комплексных и алгебраических поверхностей
• Классификация Энрикеса-Кодайры
• Теорема Богомолова–Соммезе об исчезновении

Примечания

1. Шафаревич и др. 1965.
2. Иитака 1970.
3. Иитака 1971.
4. JA Chen и M. Chen, Явная бирациональная геометрия 3-мерных и 4-мерных многообразий общего типа III, Теорема 1.4.
5. О. Фуджино и С. Мори, J. Diff. Geom. 56 (2000), 167-188. Теоремы 5.2 и 5.4.

Ссылки

• Чен, Джункай А.; Чен, Мэн (2014), «Явная бирациональная геометрия 3-мерных и 4-мерных многообразий общего типа, III», Compositio Mathematica , 151 (6): 1041–1082, arXiv : 1302.0374 , Bibcode : 2013arXiv1302.0374M, doi : 10.1112/S0010437X14007817, S2CID  119123326
• Долгачев, Игорь (2001) [1994], "Измерение Кодаиры", Энциклопедия математики , EMS Press
• Фудзино, Осаму; Мори, Шигефуми (2000), «Формула канонического расслоения», Журнал дифференциальной геометрии , 56 (1): 167–188, doi : 10.4310/jdg/1090347529 , MR  1863025
• Иитака, Сигеру (1970), «О D-размерностях алгебраических многообразий», Proc. Japan Acad. , 46 (6): 487–489, doi : 10.3792/pja/1195520260 , MR  0285532
• Иитака, Сигеру (1971), «О D-размерностях алгебраических многообразий», J. Math. Soc. Jpn. , 23 (2): 356–373, doi : 10.2969/jmsj/02320356 , MR  0285531
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии , т. 1, Берлин: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 978-3-540-22533-1, МР  2095471
• Мори, Шигефуми (1987), «Классификация многообразий более высокой размерности», Алгебраическая геометрия (Боудойн, 1985) , Труды симпозиумов по чистой математике, т. 46, часть 1, Американское математическое общество, стр. 269–331, MR  0927961
• Шафаревич Игорь Робертович ; Авербух, Б.Г.; Вайнберг, Ю. Р.; Жижченко А.Б.; Манин Юрий Иванович ; Мойшезон Борис Георгиевич ; Тюрина, Г.Н.; Тюрин А. Н. (1965), "Алгебраические поверхности", Академия наук СССР. Труды Математического института имени В.А. Стеклова , 75 : 1–215, ISSN  0371-9685, MR  0190143, Збл  0154.21001
• Сиу, Юм-Тонг (2002), «Расширение скрученных плюриканонических сечений с плюрисубгармоническим весом и инвариантность полуположительно скрученных плюриродов для многообразий не обязательно общего типа», Комплексная геометрия (Гёттинген, 2000) , Берлин: Springer-Verlag , стр. 223–277, MR  1922108
• Уэно, Кэндзи (1975), Теория классификации алгебраических многообразий и компактных комплексных пространств , Lecture Notes in Mathematics, т. 439, Springer-Verlag , MR  0506253