В алгебраической теории чисел , различный идеал (иногда просто разный ) определяется для измерения (возможного) отсутствия двойственности в кольце целых чисел алгебраического числового поля K , относительно следа поля . Затем он кодирует данные ветвления для простых идеалов кольца целых чисел. Он был введен Ричардом Дедекиндом в 1882 году. [1] [2]
Если O K — кольцо целых чисел K , а tr обозначает след поля от K до поля рациональных чисел Q , то
является целочисленной квадратичной формой на O K . Ее дискриминант как квадратичной формы не обязательно должен быть +1 (на самом деле это происходит только для случая K = Q ). Определим обратный дифферентный или кодифференциальный [3] [4] или дополнительный модуль Дедекинда [5] как множество I таких x ∈ K , что tr( xy ) является целым числом для всех y из O K , тогда I является дробным идеалом K , содержащим O K . По определению дифферентный идеал δ K является обратным дробным идеалом I −1 : это идеал O K .
Идеальная норма δ K равна идеалу Z , порожденному дискриминантом поля D K поля K.
Разница элемента α из K с минимальным многочленом f определяется как δ(α) = f ′(α), если α порождает поле K (и ноль в противном случае): [6] мы можем записать
где α ( i ) пробегает все корни характеристического многочлена α, кроме самого α. [ 7] Дифференциальный идеал порождается дифференциалами всех целых чисел α из OK . [6] [8] Это оригинальное определение Дедекинда. [9]
Дифференциал также определен для конечной степени расширения локальных полей . Он играет основную роль в двойственности Понтрягина для p-адических полей .
Относительная разность δ L / K определяется аналогичным образом для расширения числовых полей L / K. Относительная норма относительной разности тогда равна относительному дискриминанту Δ L / K. [ 10] В башне полей L / K / F относительные разности связаны соотношением δ L / F = δ L / K δ K / F. [ 5] [11]
Относительная дифференциация равна аннулятору относительного кэлерова дифференциального модуля : [10] [12]
Идеальный класс относительной разности δ L / K всегда является квадратом в группе классов O L , кольце целых чисел L . [13] Поскольку относительный дискриминант является нормой относительной разности, он является квадратом класса в группе классов OK : [14] действительно , это квадрат класса Штейница для O L как O K -модуля. [15]
Относительная разность кодирует данные ветвления расширения поля L / K. Простой идеал p из K разветвляется в L , если факторизация p в L содержит простое число L в степени, большей 1: это происходит тогда и только тогда, когда p делит относительный дискриминант Δ L / K. Точнее, если
является факторизацией p на простые идеалы L , то P i делит относительную разность δ L / K тогда и только тогда, когда P i разветвлено, то есть тогда и только тогда, когда индекс разветвления e ( i ) больше 1. [11] [16] Точная экспонента, на которую разветвленное простое число P делит δ, называется дифференциальной экспонентой P и равна e − 1, если P слабо разветвлено : то есть когда P не делит e . [17] В случае, когда P дико разветвлено, дифференциальная экспонента лежит в диапазоне от e до e + e ν P ( e) − 1. [16] [18] [19] Дифференциальную экспоненту можно вычислить из порядков высших групп ветвления для расширений Галуа: [20]
Дифференциал может быть определен для расширения локальных полей L / K. В этом случае мы можем считать расширение простым , порожденным примитивным элементом α, который также порождает степенной интегральный базис . Если f — минимальный многочлен для α, то дифференциал порождается f' (α).
