Ломаная диагональ

В развлекательной математике и теории магических квадратов ломаная диагональ — это набор из n ячеек, образующих две параллельные диагональные линии в квадрате. В качестве альтернативы эти две линии можно рассматривать как обертывание вокруг границ квадрата, чтобы сформировать одну последовательность.

В пандиагональных магических квадратах

Магический квадрат, в котором ломаные диагонали имеют ту же сумму, что и строки, столбцы и диагонали, называется пандиагональным магическим квадратом . ^{[1] [2]}

Примеры сломанных диагоналей числового квадрата на изображении следующие: 3,12,14,5; 10,1,7,16; 10,13,7,4; 15,8,2,9; 15,12,2,5; и 6,13,11,4.

Тот факт, что этот квадрат является пандиагональным магическим квадратом, можно проверить, проверив, что все его сломанные диагонали в сумме дают одну и ту же константу:

3+12+14+5 = 34

10+1+7+16 = 34

10+13+7+4 = 34

Один из способов визуализировать сломанную диагональ — представить себе «призрачное изображение» панмагического квадрата, примыкающее к оригиналу:

Набор чисел {3, 12, 14, 5} ломаной диагонали, обернутой вокруг исходного квадрата, можно увидеть, начиная с первого квадрата фантомного изображения и двигаясь вниз влево.

В линейной алгебре

Ломаные диагонали используются в формуле для нахождения определителя матриц 3 на 3 .

Для матрицы A размером 3 × 3 ее определитель равен

${\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}\\[3pt]&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\[3pt]&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}$^[3]

Здесь и — (произведения элементов) ломаных диагоналей матрицы. ${\displaystyle bfg,cdh,bdi,}$ ${\displaystyle afh}$

Ломаные диагонали используются при вычислении определителей всех матриц размером 3 × 3 или больше. Это можно показать, используя миноры матрицы для вычисления определителя.

Ссылки

1. Пиковер, Клиффорд А. (2011), Дзен магических квадратов, кругов и звезд: выставка удивительных структур в измерениях, Princeton University Press, стр. 7, ISBN 9781400841516.
2. Ликс, Х. Э. (1921), Развлечения в математике, D. Van Nostrand Company, стр. 42.
3. title=Определитель|url=https://mathworld.wolfram.com/Определитель.html