Дедекинд разрез

Метод построения действительных чисел

Дедекинд использовал свой подход для построения иррациональных , действительных чисел .

В математике сокращения Дедекинда , названные в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда , но ранее рассмотренные Джозефом Бертраном , ^{[1] [2]} представляют собой метод построения действительных чисел из рациональных чисел . Дедекиндов разрез — это разбиение рациональных чисел на два множества A и B так, что каждый элемент A меньше любого элемента B , а A не содержит наибольшего элемента . Множество B может иметь или не иметь наименьший элемент среди рациональных чисел. Если B имеет наименьший элемент среди рациональных чисел, разрез соответствует этому рациональному элементу. В противном случае этот разрез определяет уникальное иррациональное число , которое, грубо говоря, заполняет «пробел» между A и  B. ^[3] Другими словами, A содержит все рациональные числа, меньшие, чем разрез, а B содержит все рациональные числа, большие или равные разрезу. Иррациональный разрез приравнивается к иррациональному числу, которого нет ни в одном множестве. Каждое действительное число, рациональное или нет, приравнивается к одному и только одному числу рациональных чисел. ^[3]

Дедекиндовы разрезы можно обобщить с рациональных чисел на любое полностью упорядоченное множество, определив дедекиндовый разрез как разбиение полностью упорядоченного множества на две непустые части A и B , такие, что A замкнуто вниз (это означает, что для всех a в A , x ≤ a подразумевает, что x также находится в A ), B замкнут вверх и A не содержит наибольшего элемента. См. также полнота (теория порядка) .

Несложно показать, что дедекиндов разрез действительных чисел однозначно определяется соответствующим разрезом рациональных чисел. Точно так же каждый разрез действительных чисел идентичен разрезу, полученному определенным действительным числом (которое можно определить как наименьший элемент множества B ). Другими словами, числовая линия , где каждое действительное число определяется как дедекиндово сечение рациональных чисел, представляет собой полный континуум без каких-либо дальнейших пробелов.

Определение

Дедекиндов разрез — это разбиение рациональных чисел на два подмножества такое, что ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A}$непусто.
2. ${\displaystyle A\neq \mathbb {Q} }$(эквивалентно, непусто). ${\displaystyle B}$
3. Если , , и , то . ( «закрыто вниз».) ${\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle A}$
4. Если , то существует такое, что . ( не содержит наибольшего элемента.) ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle y>x}$ ${\displaystyle A}$

Опуская первые два требования, мы формально получаем расширенную линию действительных чисел .

Представительства

Более симметрично использовать обозначение ( A , B ) для разрезов Дедекинда, но каждое из A и B определяет другое. С точки зрения обозначений, если не более того, может быть упрощением сконцентрироваться на одной «половинке» - скажем, нижней - и называть любое замкнутое вниз множество A без наибольшего элемента «разрезом Дедекинда».

Если упорядоченное множество S полное, то для каждого дедекиндова разреза ( A , B ) множества S множество B должно иметь минимальный элемент b , следовательно, мы должны иметь, что A — это интервал (−∞, b ), а B интервал [ b , +∞). В этом случае мы говорим, что b представлен разрезом ( A , B ).

Важная цель сокращения Дедекинда — работать с неполными наборами чисел . Сам разрез может представлять собой число, отсутствующее в исходном наборе чисел (чаще всего рациональные числа ). Отрезок может представлять число b , даже если числа, содержащиеся в двух наборах A и B, на самом деле не включают число b , которое представляет их отрез.

Например, если A и B содержат только рациональные числа , их все равно можно разрезать , поместив в A каждое отрицательное рациональное число вместе с каждым неотрицательным рациональным числом, квадрат которого меньше 2; аналогично B будет содержать каждое положительное рациональное число, квадрат которого больше или равен 2. Несмотря на то, что не существует рационального значения для , если рациональные числа разделены таким образом на A и B , само разделение представляет собой иррациональное число . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Заказ нарезки

Считайте один дедекиндовский разрез ( A , B ) меньшим, чем другой дедекиндовый разрез ( C , D ) (того же надмножества), если A является собственным подмножеством C . Эквивалентно, если D является собственным подмножеством B , разрез ( A , B ) снова меньше, чем ( C , D ). Таким образом, включение множеств можно использовать для представления порядка чисел, а все остальные отношения ( больше , меньше или равно , равно и т. д.) могут быть аналогичным образом созданы из отношений множеств.

Множество всех дедекиндовых разрезов само по себе является линейно упорядоченным множеством (множеств). Более того, множество дедекиндовых разрезов обладает свойством наименьшей верхней границы , т. е. каждое его непустое подмножество, имеющее любую верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу. Таким образом, построение набора дедекиндовых разрезов служит цели встраивания исходного упорядоченного набора S , который, возможно, не имел свойства наименьшей верхней границы, в линейно упорядоченный набор (обычно больший), обладающий этим полезным свойством.

Построение действительных чисел

Типичное дедекиндово разрез рациональных чисел дается разбиением с ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (A,B)}$

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ or }}a<0\},}$

${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ and }}b\geq 0\}.}$^[4]

Этот разрез представляет собой иррациональное число в конструкции Дедекинда. Основная идея состоит в том, что мы используем набор , который представляет собой набор всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, для «представления» числа , и, кроме того, путем правильного определения арифметических операторов над этими наборами (сложение, вычитание, умножение и деления) эти множества (вместе с этими арифметическими действиями) образуют привычные действительные числа. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Чтобы установить это, нужно показать, что действительно является разрезом (согласно определению), а квадрат , то есть (пожалуйста, обратитесь по ссылке выше для точного определения того, как определяется умножение разрезов), есть (обратите внимание, что строго говоря, это число 2 изображается разрезом ). Чтобы показать первую часть, мы покажем, что для любого положительного рационального с существует рациональное с и . Выбор работает, поэтому это действительно сокращение. Теперь, вооружившись умножением между разрезами, это легко проверить (по сути, это потому, что ). Поэтому, чтобы показать это , мы показываем это , и достаточно показать, что для любого существует , . Для этого заметим, что если , то для построенного выше это означает, что мы имеем последовательность, в которой квадрат может стать сколь угодно близким к , что и завершает доказательство. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}<2}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y^{2}<2}$ ${\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times A\leq 2}$ ${\displaystyle x\times y\leq 2,\forall x,y\in A,x,y\geq 0}$ ${\displaystyle A\times A=2}$ ${\displaystyle A\times A\geq 2}$ ${\displaystyle r<2}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x^{2}>r}$ ${\displaystyle x>0,2-x^{2}=\epsilon >0}$ ${\displaystyle 2-y^{2}\leq {\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2}$

Заметим, что равенство b ²  = 2 не может выполняться, поскольку не является рациональным . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Связь с интервальной арифметикой

Учитывая разрез Дедекинда, представляющий действительное число путем разделения рациональных чисел на где рациональные числа меньше, а рациональные числа больше , его можно эквивалентно представить как набор пар с и , причем нижний разрез и верхний разрез задаются формулами прогнозы. Это в точности соответствует набору интервалов, аппроксимирующих . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle r}$

Это позволяет определить основные арифметические операции над действительными числами в терминах интервальной арифметики . Это свойство и его связь с действительными числами даны только в терминах и особенно важны в более слабых основах, таких как конструктивный анализ . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Обобщения

Произвольные линейно упорядоченные множества

В общем случае произвольного линейно упорядоченного множества X разрезом называется пара такая , что и , подразумевают . Некоторые авторы добавляют требование, чтобы и A , и B были непустыми. ^[5] ${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle A\cup B=X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle a<b}$

Если ни A не имеет максимума, ни B не имеет минимума, разрез называется разрывом . Линейно упорядоченное множество, наделенное порядковой топологией, компактно тогда и только тогда, когда оно не имеет разрыва. ^[6]

Сюрреалистические цифры

Конструкция, напоминающая дедекиндовы разрезы, используется для (одной из многих возможных) конструкций сюрреалистических чисел . Соответствующим понятием в данном случае является разрез Куэста-Дутари ^[7], названный в честь испанского математика Норберто Куэста Дутари  [es] .

Частично заказанные комплекты

В более общем смысле , если S является частично упорядоченным множеством , пополнение S означает полную решетку L с порядковым вложением S в L. Понятие полной решетки обобщает свойство наименьшей верхней границы вещественных чисел.

Одно завершение S — это набор его закрытых вниз подмножеств, упорядоченных по включению . Связанное пополнение, сохраняющее все существующие ups и infs S , получается с помощью следующей конструкции: для каждого подмножества A из S пусть A ^u обозначает множество верхних границ A , и пусть ^Al обозначает множество нижних границ A . (Эти операторы образуют связность Галуа .) Тогда пополнение Дедекинда–МакНила S состоит из всех подмножеств A , для которых ( A ^u ) ^l = A ; он упорядочен по включению. Пополнение Дедекинда-МакНила — это наименьшая полная решетка с вложенной в нее S.

Примечания

1. Бертран, Жозеф (1849). Арифметический трактат. стр. 203. Несоизмеримое число можно определить, только указав, как выражаемая им величина может быть образована посредством единицы. В дальнейшем мы полагаем, что это определение состоит в указании, какие соизмеримые числа меньше или больше его....
2. Спалт, Детлеф (2019). Eine kurze Geschichte der Analysis . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-662-57816-2. ISBN 978-3-662-57815-5.
3. Дедекинд, Ричард (1872). Непрерывность и иррациональные числа (PDF) . Раздел IV. Таким образом, всякий раз, когда нам приходится иметь дело с разрезом, произведенным нерациональным числом, мы создаем новое иррациональное число, которое мы считаем полностью определяемым этим разрезом... Следовательно, отныне каждому определенному разрезу соответствует определенное рациональное или иррациональное число...
4. Во второй строке можно заменить на без разницы, так как для in нет решения и это уже запрещено первым условием. Это приводит к эквивалентному выражению ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle x^{2}=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle b=0}$

   ${\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}>2{\text{ and }}b>0\}.}$

5. Р. Энгелькинг, Общая топология, I.3
6. Джун-Ити Нагата, Современная общая топология, Второе исправленное издание, Теорема VIII.2, стр. 461. На самом деле теорема справедлива в случае обобщенных упорядоченных пространств, но в этой более общей ситуации следует учитывать псевдопробелы.
7. Аллинг, Норман Л. (1987). Основы анализа сюрреалистических числовых полей . Математические исследования 141. Северная Голландия. ISBN 0-444-70226-1.

Рекомендации

• Дедекинд, Ричард, Очерки по теории чисел , «Непрерывность и иррациональные числа», Dover Publications: Нью-Йорк, ISBN 0-486-21010-3 . Также доступно в Project Gutenberg. 

Внешние ссылки

• «Дедекиндов разрез», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]