В теории графов разрез — это разбиение вершин графа на два непересекающихся подмножества . [1] Любой разрез определяет набор разрезов , набор ребер, которые имеют одну конечную точку в каждом подмножестве раздела. Говорят, что эти края пересекают разрез. В связном графе каждый набор разрезов определяет уникальный разрез, и в некоторых случаях разрезы идентифицируются с их наборами разрезов, а не с их разбиениями вершин.
В потоковой сети разрез s – t — это разрез, который требует, чтобы источник и сток находились в разных подмножествах, а его набор разрезов состоит только из ребер, идущих от стороны источника к стороне стока. Пропускная способность разреза s–t определяется как сумма пропускных способностей каждого ребра в наборе разрезов .
Разрез C = ( S , T ) — это разбиение V графа G = ( V , E ) на два подмножества S и T . Множество разрезов C = ( S , T ) — это множество {( u , v ) ∈ E | u ∈ S , v ∈ T } ребер, которые имеют один конец в S , а другой конец в T. Если s и t — заданные вершины графа G , то разрез s–t — это разрез, в котором s принадлежит множеству S , а t принадлежит множеству T.
В невзвешенном неориентированном графе размер или вес разреза — это количество ребер, пересекающих разрез. Во взвешенном графе значение или вес определяется суммой весов ребер, пересекающих разрез .
Облигация — это набор разрезов , который не имеет другого набора разрезов в качестве собственного подмножества.
Отрезок считается минимальным , если размер или вес отруба не превышает размера любого другого отруба. На иллюстрации справа показан минимальный разрез: размер этого разреза равен 2, а разреза размера 1 не существует, поскольку граф не содержит мостов .
Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе доказывает, что максимальный поток сети и сумма весов ребер любого минимального разреза, разделяющего источник и сток, равны. Существуют методы с полиномиальным временем для решения проблемы минимального разреза, в частности алгоритм Эдмондса-Карпа . [2]
Отрезок является максимальным , если его размер не меньше размера любого другого отреза. На рисунке справа показан максимальный разрез: размер разреза равен 5, а разреза размера 6 нет, или | Е | (количество ребер), поскольку граф не двудольный (есть нечетный цикл ).
В общем, найти максимальный разрез вычислительно сложно. [3] Задача о максимальном разрезе — одна из 21 NP-полной задачи Карпа . [4] Задача максимального разреза также является APX-трудной , а это означает, что для нее не существует схемы аппроксимации с полиномиальным временем, если только P = NP. [5] Однако его можно аппроксимировать с точностью до постоянного коэффициента аппроксимации , используя полуопределенное программирование . [6]
Обратите внимание, что min-cut и max-cut не являются двойными задачами в смысле линейного программирования , хотя можно перейти от одной проблемы к другой, меняя min на max в целевой функции . Проблема максимального потока является двойственной проблеме минимального сокращения. [7]
Самая разреженная проблема разреза состоит в том, чтобы разбить вершины на две части так, чтобы минимизировать отношение числа ребер в разрезе к числу вершин в меньшей половине разбиения. Эта целевая функция благоприятствует решениям, которые являются одновременно разреженными (несколько ребер пересекают разрез) и сбалансированными (близкими к разделению пополам). Известно, что проблема NP-трудна, и наиболее известным алгоритмом аппроксимации является аппроксимация, предложенная Аророй, Рао и Вазирани (2009). [8]
Семейство всех разрезов неориентированного графа называется разрезом графа . Он образует векторное пространство над двухэлементным конечным полем арифметики по модулю два с симметричной разницей двух наборов вырезок в качестве операции сложения векторов и является ортогональным дополнением пространства циклов . [9] [10] Если ребрам графа присвоены положительные веса, базис минимального веса разреза может быть описан деревом на том же множестве вершин, что и граф, называемым деревом Гомори – Ху . [11] Каждое ребро этого дерева связано со связью в исходном графе, а минимальный разрез между двумя узлами s и t является связью минимального веса среди тех, которые связаны с путем от s до t в дереве.
Разрез — это разбиение узлов графа на два множества. Размер разреза представляет собой сумму весов ребер «между» двумя наборами узлов.