Ранговая корреляция

Статистика сравнения порядковых рейтингов

В статистике ранговая корреляция — это любая из нескольких статистик, которые измеряют порядковую ассоциацию — связь между ранжированиями различных порядковых переменных или различными ранжированиями одной и той же переменной, где «ранжирование» — это присвоение меток упорядочивания «первый», «второй», «третий» и т. д. различным наблюдениям конкретной переменной. Коэффициент ранговой корреляции измеряет степень сходства между двумя ранжированиями и может использоваться для оценки значимости связи между ними. Например, два распространенных непараметрических метода значимости, которые используют ранговую корреляцию, — это U-тест Манна–Уитни и знаковый ранговый тест Вилкоксона .

Контекст

Если, например, одна переменная является идентичностью программы по баскетболу в колледже, а другая переменная является идентичностью программы по футболу в колледже, можно проверить наличие связи между рейтингами опросов двух типов программ: имеют ли колледжи с более высоко оцененной программой по баскетболу тенденцию иметь более высоко оцененную программу по футболу? Коэффициент ранговой корреляции может измерить эту связь, а мера значимости коэффициента ранговой корреляции может показать, является ли измеренная связь достаточно малой, чтобы быть совпадением.

Если имеется только одна переменная — идентичность студенческой футбольной программы, но она подвергается двум различным рейтингам опросов (например, один, составленный тренерами, а другой — спортивными обозревателями), то сходство рейтингов двух различных опросов можно измерить с помощью коэффициента ранговой корреляции.

В качестве другого примера, в таблице сопряженности с низким доходом , средним доходом и высоким доходом в переменной строки и уровнем образования (нет средней школы , средняя школа , университет ) в переменной столбца) ^[1] ранговая корреляция измеряет связь между доходом и уровнем образования.

Коэффициенты корреляции

Некоторые из наиболее популярных статистических данных ранговой корреляции включают в себя:

1. ρ Спирмена
2. τ Кендалла
3. γ Гудмана и Краскала
4. Сомерс D

Рост коэффициента ранговой корреляции означает рост согласия между рангами. Коэффициент находится внутри интервала [−1, 1] и принимает значение:

• 1, если согласие между двумя рейтингами идеальное; два рейтинга одинаковы.
• 0, если рейтинги полностью независимы.
• −1, если несоответствие между двумя рейтингами полное; один рейтинг является противоположностью другого.

Следуя Диаконису (1988), ранжирование можно рассматривать как перестановку набора объектов . Таким образом, мы можем рассматривать наблюдаемые ранжирования как данные, полученные, когда выборочное пространство является (идентифицировано) симметричной группой . Затем мы можем ввести метрику , превращая симметричную группу в метрическое пространство . Различные метрики будут соответствовать различным ранговым корреляциям.

Общий коэффициент корреляции

Кендалл 1970 ^[2] показал, что его коэффициент (тау) и коэффициент Спирмена (ро) являются частными случаями общего коэффициента корреляции. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \rho }$

Предположим, у нас есть набор объектов, которые рассматриваются в отношении двух свойств, представленных и , образующих наборы значений и . Любой паре индивидов, скажем, -му и -му, мы присваиваем -балл, обозначаемый , и -балл, обозначаемый . Единственное требование к этим функциям состоит в том, чтобы они были антисимметричными, поэтому и . (Заметим, что в частности , если .) Тогда обобщенный коэффициент корреляции определяется как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\leq n}}$ ${\displaystyle \{y_{i}\}_{i\leq n}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b_{ij}}$ ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$ ${\displaystyle b_{ij}=-b_{ji}}$ ${\displaystyle a_{ij}=b_{ij}=0}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2}\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}^{2}}}}}$

Эквивалентно, если все коэффициенты собраны в матрицы и , причем и , то ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle B=(b_{ij})}$ ${\displaystyle A^{\textsf {T}}=-A}$ ${\displaystyle B^{\textsf {T}}=-B}$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\langle A,B\rangle _{\rm {F}}}{\|A\|_{\rm {F}}\|B\|_{\rm {F}}}}}$

где — внутреннее произведение Фробениуса и норма Фробениуса . В частности, общий коэффициент корреляции — это косинус угла между матрицами и . ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\rm {F}}}$ ${\displaystyle \|A\|_{\rm {F}}={\sqrt {\langle A,A\rangle _{\rm {F}}}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

τ Кендалла как частный случай

Если , являются рангами -члена по -качеству и -качеству соответственно, то мы можем определить ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle a_{ij}=\operatorname {sgn}(r_{j}-r_{i}),\quad b_{ij}=\operatorname {sgn}(s_{j}-s_{i}).}$

Сумма — это число согласных пар за вычетом числа несогласных пар (см. коэффициент ранговой корреляции тау Кендалла ). Сумма — это просто , число членов , как и . Таким образом, в этом случае, ${\displaystyle \sum a_{ij}b_{ij}}$ ${\displaystyle \sum a_{ij}^{2}}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \sum b_{ij}^{2}}$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {2\,(({\text{number of concordant pairs}})-({\text{number of discordant pairs}}))}{n(n-1)}}={\text{Kendall's }}\tau }$

ρ Спирмена как частный случай

Если , являются рангами -члена по и -качеству соответственно, мы можем рассмотреть матрицы, определяемые как ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a,b\in M(n\times n;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle a_{ij}:=r_{j}-r_{i}}$

${\displaystyle b_{ij}:=s_{j}-s_{i}}$

Суммы и равны, так как и лежат в диапазоне от до . Следовательно ${\displaystyle \sum a_{ij}^{2}}$ ${\displaystyle \sum b_{ij}^{2}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\sum (r_{j}-r_{i})(s_{j}-s_{i})}{\sum (r_{j}-r_{i})^{2}}}}$

Чтобы упростить это выражение, пусть обозначает разницу в рангах для каждого . Далее, пусть будет равномерно распределенной дискретной случайной величиной на . Поскольку ранги являются просто перестановками , мы можем рассматривать обе как случайные величины, распределенные как . Используя основные результаты суммирования из дискретной математики, легко увидеть, что для равномерно распределенной случайной величины , мы имеем и и, таким образом , . Теперь, наблюдая симметрии, мы можем вычислить части следующим образом: ${\displaystyle d_{i}:=r_{i}-s_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [U]=\textstyle {\frac {n+1}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [U^{2}]=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Var} (U)=\textstyle {\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\textstyle {\frac {(n+1)(n+1)}{4}}=\textstyle {\frac {n^{2}-1}{12}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i,j=1}^{n}(r_{j}-r_{i})(s_{j}-s_{i})&=2\left({\frac {1}{n^{2}}}\cdot n\sum _{i=1}^{n}r_{i}s_{i}-({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}r_{i})({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}s_{j})\right)\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(r_{i}^{2}+s_{i}^{2}-d_{i}^{2})-2(\mathbb {E} [U])^{2}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}r_{i}^{2}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}s_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}-2(\mathbb {E} [U])^{2}\\&=2(\mathbb {E} [U^{2}]-(\mathbb {E} [U])^{2})-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\\\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i,j=1}^{n}(r_{j}-r_{i})^{2}&={\frac {1}{n^{2}}}\cdot n\sum _{i,j=1}^{n}(r_{i}^{2}+r_{j}^{2}-2r_{i}r_{j})\\&=2{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}r_{i}^{2}-2({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}r_{i})({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}r_{j})\\&=2(\mathbb {E} [U^{2}]-(\mathbb {E} [U])^{2})\\\end{aligned}}}$

Следовательно

${\displaystyle \Gamma =1-{\frac {\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{2n\mathrm {Var} (U)}}=1-{\frac {6\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}$

где — разница между рангами, которая и есть коэффициент ранговой корреляции Спирмена . ${\displaystyle d_{i}=r_{i}-s_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

Ранговая бисериальная корреляция

Джин Гласс (1965) отметил, что ранг-бисериальная корреляция может быть выведена из ранговой корреляции Спирмена . «Можно вывести коэффициент, определенный для X , дихотомической переменной, и Y , ранговой переменной, который оценивает ро Спирмена между X и Y таким же образом, как бисериальная r оценивает r Пирсона между двумя нормальными переменными» (стр. 91). Ранг-бисериальная корреляция была введена девятью годами ранее Эдвардом Кьюретоном (1956) как мера ранговой корреляции, когда ранги находятся в двух группах. ${\displaystyle \rho }$

Формула простой разности Керби

Дэйв Керби (2014) рекомендовал ранг-бисериал в качестве меры для ознакомления студентов с ранговой корреляцией, поскольку общая логика может быть объяснена на вводном уровне. Ранг-бисериал — это корреляция, используемая с тестом Манна-Уитни U , методом, который обычно изучают на вводных курсах колледжей по статистике. Данные для этого теста состоят из двух групп; и для каждого члена группы результат ранжируется для исследования в целом.

Керби показал, что эта ранговая корреляция может быть выражена в терминах двух концепций: процент данных, которые поддерживают выдвинутую гипотезу, и процент данных, которые ее не поддерживают. Формула простой разности Керби утверждает, что ранговая корреляция может быть выражена как разница между долей благоприятных доказательств ( f ) минус доля неблагоприятных доказательств ( u ).

${\displaystyle r=f-u}$

Пример и толкование

Для иллюстрации вычислений предположим, что тренер тренирует бегунов на длинные дистанции в течение месяца, используя два метода. В группе A 5 бегунов, а в группе B 4 бегуна. Выдвинутая гипотеза заключается в том, что метод A дает более быстрых бегунов. Гонка по оценке результатов показывает, что бегуны из группы A действительно бегают быстрее, со следующими рангами: 1, 2, 3, 4 и 6. Таким образом, более медленные бегуны из группы B имеют ранги 5, 7, 8 и 9.

Анализ проводится по парам, определяемым как член одной группы по сравнению с членом другой группы. Например, самый быстрый бегун в исследовании является членом четырех пар: (1,5), (1,7), (1,8) и (1,9). Все четыре из этих пар поддерживают гипотезу, потому что в каждой паре бегун из группы A быстрее бегуна из группы B. Всего имеется 20 пар, и 19 пар поддерживают гипотезу. Единственная пара, которая не поддерживает гипотезу, — это два бегуна с рангами 5 и 6, потому что в этой паре бегун из группы B показал более быстрое время. По формуле простой разности Керби 95% данных поддерживают гипотезу (19 из 20 пар), а 5% не поддерживают (1 из 20 пар), поэтому ранговая корреляция составляет r = .95 − .05 = .90.

Максимальное значение корреляции равно r = 1, что означает, что 100% пар поддерживают гипотезу. Корреляция r = 0 указывает на то, что половина пар поддерживает гипотезу, а половина — нет; другими словами, группы выборки не различаются по рангам, поэтому нет никаких доказательств того, что они происходят из двух разных популяций. Можно сказать, что размер эффекта r = 0 описывает отсутствие связи между членством в группе и рангами ее членов.

Ссылки

1. Крускал, Уильям Х. (1958). «Порядковые меры ассоциации». Журнал Американской статистической ассоциации . 53 (284): 814–861. doi :10.2307/2281954. JSTOR  2281954.
2. Кендалл, Морис Г. (1970). Методы ранговой корреляции (4-е изд.). Гриффин. ISBN 9780852641996.

Дальнейшее чтение

• Кьюртон, Эдвард Э. (1956). «Ранговая бисериальная корреляция». Психометрика . 21 (3): 287–290. doi :10.1007/BF02289138. S2CID  122500836.
• Эверитт, BS (2002), Кембриджский словарь статистики , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-81099-X
• Диаконис, П. (1988), Представления групп в теории вероятностей и статистике , серия лекций-монографий, Хейворд, Калифорния: Институт математической статистики, ISBN 0-940600-14-5
• Glass, Gene V. (1965). «Аналог ранжирующей переменной бисериальной корреляции: последствия для анализа сокращенных элементов». Журнал образовательных измерений . 2 (1): 91–95. doi :10.1111/j.1745-3984.1965.tb00396.x.
• Кендалл, MG (1970), Методы ранговой корреляции , Лондон: Griffin, ISBN 0-85264-199-0
• Керби, Дэйв С. (2014). «Простая формула разности: подход к обучению непараметрической корреляции». Comprehensive Psychology . 3 (1): 11.IT.3.1. doi : 10.2466/11.IT.3.1 (неактивен 2024-06-26).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of June 2024 (link)

Внешние ссылки

• Краткое руководство экспериментального психолога Карла Л. Вейнша - Непараметрические размеры эффекта (Авторское право 2015 Карла Л. Вейнша)