Ранг абелевой группы

Количество элементов в подмножестве коммутативной группы

В математике ранг , ранг Прюфера или ранг без кручения абелевой группы A — это мощность максимального линейно независимого подмножества. ^[1] Ранг A определяет размер наибольшей свободной абелевой группы, содержащейся в A . Если A не имеет кручения, то он вкладывается в векторное пространство над рациональными числами размерного ранга A . Для конечно порожденных абелевых групп ранг является сильным инвариантом, и каждая такая группа определяется с точностью до изоморфизма своим рангом и периодической подгруппой . Абелевы группы без кручения ранга 1 полностью классифицированы. Однако теория абелевых групп более высокого ранга более сложна.

Термин ранг имеет другое значение в контексте элементарных абелевых групп .

Определение

Подмножество { aα } абелевой группы A является линейно независимым (над Z ) _, если единственная линейная комбинация этих элементов, равная нулю, тривиальна: если

${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,}$

где все коэффициенты n _α, кроме конечного числа , равны нулю (так что сумма фактически конечна), то все коэффициенты равны нулю. Любые два максимальных линейно независимых множества из A имеют одинаковую мощность , называемую рангом A.

Ранг абелевой группы аналогичен размерности векторного пространства . Основное отличие от случая векторного пространства — наличие кручения . Элемент абелевой группы A называется периодическим, если его порядок конечен. Множество всех периодических элементов представляет собой подгруппу, называемую периодической подгруппой и обозначаемую T ( A ). Группа называется без кручения, если в ней нет нетривиальных элементов кручения. Фактор-группа A / T ( A ) является единственным максимальным фактором без кручения A , и ее ранг совпадает с рангом A.

Понятие ранга с аналогичными свойствами может быть определено для модулей над любой областью целостности (случай абелевых групп соответствует модулям над Z) . Информацию об этом см. в разделе конечно сгенерированный модуль#Generic Rank .

Характеристики

• Ранг абелевой группы A совпадает с размерностью Q -векторного пространства A ⊗ Q . Если A не имеет кручения, то каноническое отображение A → A ⊗ Q инъективно и ранг A является минимальной размерностью Q -векторного пространства, содержащего A как абелеву подгруппу. В частности, любая промежуточная группа Zn < ^A < Qn ^имеет ранг n .
• Абелевы группы ранга 0 — это в точности периодические абелевы группы .
• Группа рациональных чисел Q имеет ранг 1. Абелевы группы без кручения ранга 1 реализуются как подгруппы группы Q и существует удовлетворительная их классификация с точностью до изоморфизма. Напротив, не существует удовлетворительной классификации абелевых групп без кручения ранга 2. ^[2]
• Ранг аддитивен для коротких точных последовательностей : если

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\;}$

является короткой точной последовательностью абелевых групп, то rk  B = rk  A  + rk  C . Это следует из плоскостности Q и соответствующего факта для векторных пространств.

• Ранг аддитивен по произвольным прямым суммам :

${\displaystyle \operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),}$

где сумма в правой части использует кардинальную арифметику .

Группы высшего ранга

Абелевы группы ранга больше 1 являются источником интересных примеров. Например, для каждого кардинала d существуют абелевы группы без кручения ранга d , которые неразложимы , т. е. не могут быть выражены в виде прямой суммы пары их собственных подгрупп. Эти примеры показывают, что абелева группа без кручения ранга больше 1 не может быть просто построена путем прямых сумм из абелевых групп без кручения ранга 1, теория которых хорошо изучена. Более того, для каждого целого числа существует абелева группа без кручения ранга , который одновременно является суммой двух неразложимых групп и суммой n неразложимых групп. ^{[ нужна цитата ]} Следовательно, даже количество неразложимых слагаемых группы четного ранга, большего или равного 4, не является четко определенным. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle 2n-2}$

Другой результат о неединственности разложений в прямую сумму принадлежит ALS Corner: для заданных целых чисел существует абелева группа A без кручения ранга n такая, что для любого разбиения на k натуральных слагаемых группа A является прямой суммой k неразложимые подгруппы рангов . ^{[ нужна цитата ]} Таким образом, последовательность рангов неразложимых слагаемых в некотором разложении в прямую сумму абелевой группы без кручения конечного ранга очень далека от того, чтобы быть инвариантом A . ${\displaystyle n\geq k\geq 1}$ ${\displaystyle n=r_{1}+\cdots +r_{k}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}$

Другие удивительные примеры включают группы без кручения ранга 2 An _{, m} и B _{n , m} такие, что ^An изоморфно B n ^тогда и только тогда, когда _n делится на m .

Для абелевых групп бесконечного ранга существует пример группы K и подгруппы G таких, что

• К неразложим;
• K порождается G и еще одним элементом; и
• Каждое ненулевое прямое слагаемое группы G разложимо.

Обобщение

Понятие ранга можно обобщить для любого модуля M над областью целостности R как размерность над R ₀ , полем факторов , тензорного произведения модуля с полем:

${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\dim _{R_{0}}M\otimes _{R}R_{0}}$

Это имеет смысл, поскольку R ₀ — поле, и, следовательно, любой модуль (или, точнее, векторное пространство ) над ним свободен.

Это обобщение, поскольку каждая абелева группа является модулем над целыми числами. Отсюда легко следует, что размерность произведения над Q равна мощности максимального линейно независимого подмножества, поскольку для любого элемента кручения x и любого рационального q

${\displaystyle x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0.}$

Смотрите также

• Ранг группы

Рекомендации

1. Страница 46 из Lang, Serge (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0, Збл  0848.13001
2. Томас, Саймон; Шнайдер, Скотт (2012), «Счетные борелевские отношения эквивалентности», Каммингс, Джеймс; Шиммерлинг, Эрнест (ред.), Аппалачская теория множеств: 2006–2012 , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 406, Cambridge University Press, стр. 25–62, CiteSeerX 10.1.1.648.3113 , doi : 10.1017/CBO9781139208574.003, ISBN  9781107608504. На стр. 46, Томас и Шнайдер ссылаются на «...эту неспособность удовлетворительным образом классифицировать даже группы ранга 2...»