Распределение Кантора

Распределение вероятностей

Распределение Кантора — это распределение вероятностей , кумулятивная функция распределения которого представляет собой функцию Кантора .

Это распределение не имеет ни функции плотности вероятности, ни функции массы вероятности , поскольку, хотя его кумулятивная функция распределения является непрерывной функцией , распределение не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега , и не имеет никаких точечных масс. Таким образом, оно не является ни дискретным, ни абсолютно непрерывным распределением вероятности, и не является их смесью. Скорее, это пример сингулярного распределения .

Ее кумулятивная функция распределения непрерывна всюду, но горизонтальна почти всюду, поэтому ее иногда называют « чертовой лестницей» , хотя этот термин имеет более общее значение.

Характеристика

Носителем распределения Кантора является множество Кантора , которое само является пересечением (счетно бесконечного множества) множеств:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}={}&[0,1]\\[8pt]C_{1}={}&[0,1/3]\cup [2/3,1]\\[8pt]C_{2}={}&[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\[8pt]C_{3}={}&[0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\[4pt]{}&[2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\[8pt]C_{4}={}&[0,1/81]\cup [2/81,1/27]\cup [2/27,7/81]\cup [8/81,1/9]\cup [2/9,19/81]\cup [20/81,7/27]\cup \\[4pt]&[8/27,25/81]\cup [26/81,1/3]\cup [2/3,55/81]\cup [56/81,19/27]\cup [20/27,61/81]\cup \\[4pt]&[62/81,21/27]\cup [8/9,73/81]\cup [74/81,25/27]\cup [26/27,79/81]\cup [80/81,1]\\[8pt]C_{5}={}&\cdots \end{aligned}}}$

Распределение Кантора — это уникальное распределение вероятностей, для которого для любого C _t ( t  ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }) вероятность того, что определенный интервал в C _t содержит распределенную по Кантору случайную величину, равна тождественно 2 ^{− t} на каждом из 2 ^t интервалов.

Моменты

Из симметрии и ограниченности легко видеть, что для случайной величины X, имеющей такое распределение, ее ожидаемое значение E( X ) = 1/2, и что все нечетные центральные моменты X равны 0.

Закон полной дисперсии можно использовать для нахождения дисперсии var( X ) следующим образом. Для указанного выше множества C ₁ пусть Y = 0, если X  ∈ [0,1/3], и 1, если X  ∈ [2/3,1]. Тогда:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}\end{aligned}}}$

Из этого получаем:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}.}$

Выражение в замкнутой форме для любого четного центрального момента можно найти, получив сначала четные кумулянты ^[1]

${\displaystyle \kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!}$

где B _{2 n} — 2 n -е число Бернулли , а затем выражаем моменты как функции кумулянтов .

Ссылки

1. Моррисон, Кент (1998-07-23). ​​"Случайные блуждания с уменьшающимися шагами" (PDF) . Кафедра математики, Калифорнийский политехнический государственный университет. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-12-02 . Получено 2007-02-16 .

Дальнейшее чтение

• Хьюитт, Э.; Штромберг, К. (1965). Реальный и абстрактный анализ . Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag. Здесь, как и в других стандартных текстах, есть функция Кантора и ее односторонние производные.
• Ху, Тянь-Ю; Лау, Ка Синг (2002). «Асимптотика Фурье мер канторовского типа на бесконечности». Proc. AMS . Т. 130, № 9. С. 2711–2717. Этот текст более современен, чем другие тексты в этом списке литературы.
• Книлл, О. (2006). Теория вероятностей и стохастические процессы . Индия: Overseas Press.
• Маттилла, П. (1995). Геометрия множеств в евклидовых пространствах . Сан-Франциско: Cambridge University Press. Здесь представлен более продвинутый материал по фракталам.