Распределение произведения двух случайных величин

Распределение вероятностей

Распределение продукта — это распределение вероятностей , построенное как распределение произведения случайных величин , имеющих два других известных распределения. Учитывая две статистически независимые случайные величины X и Y , распределение случайной величины Z , которая формируется как продукт, является распределением продукта . ${\displaystyle Z=XY}$

Распределение продукта представляет собой PDF-файл произведения выборочных значений. Это не то же самое, что продукт их PDF-файлов, однако эти концепции часто неоднозначно называют «продуктом гауссиан».

Алгебра случайных величин

Продукт представляет собой один из типов алгебры для случайных величин: с распределением продукта связаны распределение отношений , распределение суммы (см. Список сверток распределений вероятностей ) и распределение разностей. В более общем смысле можно говорить о комбинациях сумм, разностей, произведений и отношений.

Многие из этих распределений описаны в книге Мелвина Д. Спрингера 1979 года « Алгебра случайных величин» . ^[1]

Вывод для независимых случайных величин

Если и являются двумя независимыми, непрерывными случайными величинами, описываемыми функциями плотности вероятности , то функция плотности вероятности равна [ ^2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle f_{Y}}$ ${\displaystyle Z=XY}$

${\displaystyle f_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx.}$

Доказательство

Сначала напишем кумулятивную функцию распределения , начиная с ее определения ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z}(z)&\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mathbb {P} (Z\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z,X\geq 0)+\mathbb {P} (XY\leq z,X\leq 0)\\&=\mathbb {P} (Y\leq z/X,X\geq 0)+\mathbb {P} (Y\geq z/X,X\leq 0)\\&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)\int _{-\infty }^{z/x}f_{Y}(y)\,dy\,dx+\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)\int _{z/x}^{\infty }f_{Y}(y)\,dy\,dx\end{aligned}}}$

Мы находим искомую функцию плотности вероятности, взяв производную обеих частей по . Поскольку в правой части появляется только в пределах интегрирования, производная легко вычисляется с использованием фундаментальной теоремы исчисления и правила цепочки . (Обратите внимание на отрицательный знак, который необходим, когда переменная попадает в нижний предел интегрирования.) ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{x}}\,dx-\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx+\int _{-\infty }^{0}f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx.\end{aligned}}}$

где абсолютное значение используется для удобного объединения двух терминов. ^[3]

Альтернативное доказательство

Более быстрое и компактное доказательство начинается с того же этапа записи кумулятивного распределения, начиная с его определения: ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z}(z)&{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \ \mathbb {P} (Z\leq z)\\&=\mathbb {P} (XY\leq z)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(y)u(z-xy)\,dy\,dx\end{aligned}}}$

где – ступенчатая функция Хевисайда и служит для ограничения области интегрирования значениями и удовлетворяющими . ${\displaystyle u(\cdot )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy\leq z}$

Мы находим искомую функцию плотности вероятности, взяв производную обеих частей по . ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(y)\delta (z-xy)\,dy\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\left[\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(y)\delta (z-xy)\,dy\right]\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx.\end{aligned}}}$

где мы используем свойства перевода и масштабирования дельта-функции Дирака . ${\displaystyle \delta }$

Более интуитивное описание процедуры показано на рисунке ниже. PDF-файл соединения существует в плоскости - , а дуга постоянного значения показана заштрихованной линией. Чтобы найти предельную вероятность на этой дуге, проинтегрируйте приращения площади на этом контуре. ${\displaystyle f_{X}(x)f_{Y}(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f_{Z}(z)}$ ${\displaystyle dx\,dy\;f(x,y)}$

Диаграмма, иллюстрирующая распределение продуктов двух переменных.

Начиная с , у нас есть . Таким образом, приращение вероятности равно . Поскольку подразумевается , мы можем связать приращение вероятности с -приращением , а именно . Тогда интегрирование окончено , дает . ${\displaystyle y={\frac {z}{x}}}$ ${\displaystyle dy=-{\frac {z}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {y}{x}}\,dx}$ ${\displaystyle \delta p=f(x,y)\,dx\,|dy|=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {y}{|x|}}\,dx\,dx}$ ${\displaystyle z=yx}$ ${\displaystyle dz=y\,dx}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta p=f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx\,dz}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{Z}(z)=\int f_{X}(x)f_{Y}(z/x){\frac {1}{|x|}}\,dx}$

Байесовская интерпретация

Пусть — случайная выборка, полученная из распределения вероятностей . Масштабирование генерирует выборку из масштабированного распределения , которое можно записать как условное распределение . ${\displaystyle X\sim f(x)}$ ${\displaystyle f_{x}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta X\sim {\frac {1}{|\theta |}}f_{X}\left({\frac {x}{\theta }}\right)}$ ${\displaystyle g_{x}(x|\theta )={\frac {1}{|\theta |}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta }}\right)}$

Пусть это случайная величина с PDF , распределение масштабированной выборки становится, и при интегрировании мы получаем , что оно получено из этого распределения . Однако, подставив определение, мы также получим то, что имеет ту же форму, что и распределение продукта выше. Таким образом, байесовское апостериорное распределение представляет собой распределение произведения двух независимых случайных выборок и . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle f_{\theta }(\theta )}$ ${\displaystyle f_{X}(\theta x)=g_{X}(x\mid \theta )f_{\theta }(\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h_{x}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }g_{X}(x|\theta )f_{\theta }(\theta )d\theta }$ ${\displaystyle \theta X}$ ${\displaystyle \theta X\sim h_{X}(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{|\theta |}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta }}\right)f_{\theta }(\theta )\,d\theta }$ ${\displaystyle h_{X}(x)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X}$

Для случая, когда одна переменная является дискретной, пусть вероятность находится на уровнях с . Условная плотность . Поэтому . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i}P_{i}=1}$ ${\displaystyle f_{X}(x\mid \theta _{i})={\frac {1}{|\theta _{i}|}}f_{x}\left({\frac {x}{\theta _{i}}}\right)}$ ${\displaystyle f_{X}(\theta x)=\sum {\frac {P_{i}}{|\theta _{i}|}}f_{X}\left({\frac {x}{\theta _{i}}}\right)}$

Ожидание произведения случайных величин

Когда две случайные величины статистически независимы, математическое ожидание их продукта является продуктом их ожиданий . Это можно доказать с помощью закона полного ожидания :

${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (XY\mid Y))}$

Во внутреннем выражении Y является константой. Следовательно:

${\displaystyle \operatorname {E} (XY\mid Y)=Y\cdot \operatorname {E} [X\mid Y]}$

${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (Y\cdot \operatorname {E} [X\mid Y])}$

Это верно, даже если X и Y статистически зависимы, и в этом случае они являются функцией Y . В особом случае, когда X и Y статистически независимы, это константа, независимая от Y. Следовательно: ${\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]}$

${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (Y\cdot \operatorname {E} [X])}$

${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)}$

Дисперсия произведения независимых случайных величин

Пусть – некоррелированные случайные величины со средними значениями и дисперсиями . Если, кроме того, случайные величины и некоррелированы, то дисперсия произведения XY равна ^[4] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \mu _{X},\mu _{Y},}$ ${\displaystyle \sigma _{X}^{2},\sigma _{Y}^{2}}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle Y^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (XY)=(\sigma _{X}^{2}+\mu _{X}^{2})(\sigma _{Y}^{2}+\mu _{Y}^{2})-\mu _{X}^{2}\mu _{Y}^{2}}$

В случае произведения более двух переменных, если они статистически независимы, то ^[5] дисперсия их произведения равна ${\displaystyle X_{1}\cdots X_{n},\;\;n>2}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{1}X_{2}\cdots X_{n})=\prod _{i=1}^{n}(\sigma _{i}^{2}+\mu _{i}^{2})-\prod _{i=1}^{n}\mu _{i}^{2}}$

Характеристическая функция произведения случайных величин

Предположим, что X , Y — независимые случайные величины. Характеристическая функция X равна , а распределение Y известно. Тогда из закона полного ожидания имеем ^[6] ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{Z}(t)&=\operatorname {E} (e^{itXY})\\&=\operatorname {E} (\operatorname {E} (e^{itXY}\mid Y))\\&=\operatorname {E} (\varphi _{X}(tY))\end{aligned}}}$

Если характеристические функции и распределения как X , так и Y известны, то альтернативный вариант также имеет место. ${\displaystyle \varphi _{Z}(t)=\operatorname {E} (\varphi _{Y}(tX))}$

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина распределения с поддержкой только на случайной выборке : ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(x)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{s-1}].}$

Обратное преобразование

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\varphi (s)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$

если это две независимые случайные выборки из разных распределений, то преобразование Меллина их произведения равно произведению их преобразований Меллина: ${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}$

Если s ограничено целочисленными значениями, более простой результат:

${\displaystyle \operatorname {E} [(XY)^{n}]=\operatorname {E} [X^{n}]\;\operatorname {E} [Y^{n}]}$

Таким образом, моменты случайного произведения являются произведением соответствующих моментов , и это распространяется на нецелые моменты, например ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$

${\displaystyle \operatorname {E} [{(XY)^{1/p}}]=\operatorname {E} [X^{1/p}]\;\operatorname {E} [Y^{1/p}].}$

PDF функции можно восстановить по ее моментам, используя метод аппроксимации седловой точки .

Дальнейший результат состоит в том, что для независимых X , Y

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]=\operatorname {E} [X^{p}]\operatorname {E} [Y^{q}]}$

Пример гамма-распределения Чтобы проиллюстрировать, как произведение моментов дает гораздо более простой результат, чем нахождение моментов распределения продукта, давайте выберем из двух гамма-распределений с параметрами , моменты которых равны ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle f_{Gamma}(x;\theta ,1)=\Gamma (\theta )^{-1}x^{\theta -1}e^{-x}}$ ${\displaystyle \theta =\alpha ,\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}]=\int _{0}^{\infty }x^{p}\Gamma (x,\theta )\,dx={\frac {\Gamma (\theta +p)}{\Gamma (\theta )}}.}$

Умножение соответствующих моментов дает результат преобразования Меллина.

${\displaystyle \operatorname {E} [(XY)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}\;{\frac {\Gamma (\beta +p)}{\Gamma (\beta )}}}$

Независимо от этого известно, что произведение двух независимых выборок с гамма-распределением (~Gamma(α,1) и Gamma(β,1)) имеет K-распределение :

${\displaystyle f(z,\alpha ,\beta )=2\Gamma (\alpha )^{-1}\Gamma (\beta )^{-1}z^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }(2{\sqrt {z}})={\frac {1}{\alpha \beta }}f_{K}\left({\frac {z}{\alpha \beta }};1,\alpha ,\beta \right),\;z\geq 0}$

Чтобы найти моменты этого, сделайте замену переменной , упрощая подобные интегралы до: ${\displaystyle y=2{\sqrt {z}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }z^{p}K_{\nu }(2{\sqrt {z}})\,dz=2^{-2p-1}\int _{0}^{\infty }y^{2p+1}K_{\nu }(y)\,dy}$

таким образом

${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }z^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta }(2{\sqrt {z}})\,dz=2^{-(\alpha +\beta )-2p+1}\int _{0}^{\infty }y^{(\alpha +\beta )+2p-1}K_{\alpha -\beta }(y)\,dy}$

Определенный интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }y^{\mu }K_{\nu }(y)\,dy=2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {1+\mu +\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1+\mu -\nu }{2}}\right)}$хорошо документирован, и мы, наконец, получили

${\displaystyle {\begin{aligned}E[Z^{p}]&={\frac {2^{-(\alpha +\beta )-2p+1}\;2^{(\alpha +\beta )+2p-1}}{\Gamma (\alpha )\;\Gamma (\beta )}}\Gamma \left({\frac {(\alpha +\beta +2p)+(\alpha -\beta )}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {(\alpha +\beta +2p)-(\alpha -\beta )}{2}}\right)\\\\&={\frac {\Gamma (\alpha +p)\,\Gamma (\beta +p)}{\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}}\end{aligned}}}$

который, после некоторых затруднений, согласился с приведенным выше результатом продукта.

Если X , Y нарисованы независимо от гамма-распределений с параметрами формы, то ${\displaystyle \alpha ,\;\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{q}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}\;{\frac {\Gamma (\beta +q)}{\Gamma (\beta )}}}$

Этот тип результата является универсальным, поскольку для двумерных независимых переменных таким образом ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]&=\int _{x=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{x=-\infty }^{\infty }x^{p}{\Big [}\int _{y=-\infty }^{\infty }y^{q}f_{Y}(y)\,dy{\Big ]}f_{X}(x)\,dx\\&=\int _{x=-\infty }^{\infty }x^{p}f_{X}(x)\,dx\int _{y=-\infty }^{\infty }y^{q}f_{Y}(y)\,dy\\&=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{q}]\end{aligned}}}$

или, что то же самое, ясно, что это независимые переменные. ${\displaystyle X^{p}{\text{ and }}Y^{q}}$

Особые случаи

Логнормальные распределения

Распределение произведения двух случайных величин, имеющих логнормальное распределение, снова является логнормальным. Это сам по себе частный случай более общего набора результатов, где логарифм произведения можно записать как сумму логарифмов. Таким образом, в тех случаях, когда простой результат можно найти в списке сверток вероятностных распределений , где свертываемые распределения представляют собой распределения логарифмов компонентов продукта, результат может быть преобразован для получения распределения продукта . Однако этот подход полезен только в том случае, если логарифмы компонентов произведения находятся в некоторых стандартных семействах распределений.

Равномерно распределенные независимые случайные величины

Пусть — произведение двух независимых переменных, каждая из которых равномерно распределена на интервале [0,1], возможно, результат преобразования копулы . Как отмечалось выше в разделе «Логнормальные распределения», операции свертки PDF в домене журнала соответствуют произведению выборочных значений в исходном домене. Таким образом, делая преобразование , такое , что каждая переменная распределяется независимо от u как ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=X_{1}X_{2}}$ ${\displaystyle u=\ln(x)}$ ${\displaystyle p_{U}(u)\,|du|=p_{X}(x)\,|dx|}$

${\displaystyle p_{U}(u)={\frac {p_{X}(x)}{|du/dx|}}={\frac {1}{x^{-1}}}=e^{u},\;\;-\infty <u\leq 0}$.

а свертка двух распределений - это автосвертка

${\displaystyle c(y)=\int _{u=0}^{y}e^{u}e^{y-u}du=-\int _{u=y}^{0}e^{y}du=-ye^{y},\;\;-\infty <y\leq 0}$

Затем повторно преобразуйте переменную, чтобы получить распределение. ${\displaystyle z=e^{y}}$

${\displaystyle c_{2}(z)=c_{Y}(y)/|dz/dy|={\frac {-ye^{y}}{e^{y}}}=-y=\ln(1/z)}$на интервале [0,1]

Для произведения нескольких (> 2) независимых выборок маршрут характеристической функции является благоприятным. Если мы определим, то выше это гамма-распределение формы 1 и масштабного коэффициента 1, , а его известный CF равен . Обратите внимание, что якобиан преобразования равен единице. ${\displaystyle {\tilde {y}}=-y}$ ${\displaystyle c({\tilde {y}})}$ ${\displaystyle c({\tilde {y}})={\tilde {y}}e^{-{\tilde {y}}}}$ ${\displaystyle (1-it)^{-1}}$ ${\displaystyle |d{\tilde {y}}|=|dy|}$

Таким образом, свертка независимых выборок имеет CF , который, как известно, является CF гамма-распределения формы : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle (1-it)^{-n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle c_{n}({\tilde {y}})=\Gamma (n)^{-1}{\tilde {y}}^{(n-1)}e^{-{\tilde {y}}}=\Gamma (n)^{-1}(-y)^{(n-1)}e^{y}}$.

Выполните обратное преобразование , чтобы извлечь PDF-файл произведения n образцов : ${\displaystyle z=e^{y}}$

${\displaystyle f_{n}(z)={\frac {c_{n}(y)}{|dz/dy|}}=\Gamma (n)^{-1}{\Big (}-\log z{\Big )}^{n-1}e^{y}/e^{y}={\frac {{\Big (}-\log z{\Big )}^{n-1}}{(n-1)!\;\;\;}}\;\;\;0<z\leq 1}$

Следующий, более традиционный вывод из Stackexchange ^[7] согласуется с этим результатом. Прежде всего, позволить его CDF ${\displaystyle Z_{2}=X_{1}X_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z_{2}}(z)=\Pr {\Big [}Z_{2}\leq z{\Big ]}&=\int _{x=0}^{1}\Pr {\Big [}X_{2}\leq {\frac {z}{x}}{\Big ]}f_{X_{1}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{z}1dx+\int _{x=z}^{1}{\frac {z}{x}}\,dx\\&=z-z\log z,\;\;0<z\leq 1\end{aligned}}}$

Плотность ${\displaystyle z_{2}{\text{ is then }}f(z_{2})=-\log(z_{2})}$

Умножение на третью независимую выборку дает функцию распределения

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Z_{3}}(z)=\Pr {\Big [}Z_{3}\leq z{\Big ]}&=\int _{x=0}^{1}\Pr {\Big [}X_{3}\leq {\frac {z}{x}}{\Big ]}f_{Z_{2}}(x)\,dx\\&=-\int _{x=0}^{z}\log(x)\,dx-\int _{x=z}^{1}{\frac {z}{x}}\log(x)\,dx\\&=-z{\Big (}\log(z)-1{\Big )}+{\frac {1}{2}}z\log ^{2}(z)\end{aligned}}}$

Получение производной доходности ${\displaystyle f_{Z_{3}}(z)={\frac {1}{2}}\log ^{2}(z),\;\;0<z\leq 1.}$

Автор заметки предполагает, что в целом ${\displaystyle f_{Z_{n}}(z)={\frac {(-\log z)^{n-1}}{(n-1)!\;\;\;}},\;\;0<z\leq 1}$

Геометрия распределения произведений двух случайных величин в единичном квадрате.

Рисунок иллюстрирует природу приведенных выше интегралов. Область выделения внутри единичного квадрата и ниже линии z = xy представляет собой CDF z. Это делится на две части. Первый — для 0 < x < z, где приращение площади в вертикальной щели просто равно dx . Вторая часть находится ниже линии xy , имеет высоту y z/x и дополнительную площадь dx z/x .

Независимые центрально-нормальные распределения

Произведение двух независимых нормальных выборок соответствует модифицированной функции Бесселя . Пусть это независимые выборки из нормального (0,1) распределения и . Затем ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z=xy}$

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {K_{0}(|z|)}{\pi }},\;\;\;-\infty <z<+\infty }$

Дисперсия этого распределения в принципе может быть определена с помощью определенного интеграла Градшейна и Рыжика ^[8]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\mu }K_{\nu }(ax)\,dx=2^{\mu -1}a^{-\mu -1}\Gamma {\Big (}{\frac {1+\mu +\nu }{2}}{\Big )}\Gamma {\Big (}{\frac {1+\mu -\nu }{2}}{\Big )},\;\;a>0,\;\nu +1\pm \mu >0}$

таким образом ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {z^{2}K_{0}(|z|)}{\pi }}\,dz={\frac {4}{\pi }}\;\Gamma ^{2}{\Big (}{\frac {3}{2}}{\Big )}=1}$

Гораздо более простой результат, изложенный в разделе выше, заключается в том, что дисперсия произведения независимых выборок с нулевым средним равна произведению их дисперсий. Поскольку дисперсия каждого нормального образца равна единице, дисперсия произведения также равна единице.

Произведение двух гауссовых выборок часто путают с произведением двух гауссовских PDF-файлов. Последнее просто приводит к двумерному распределению Гаусса.

Коррелированные центрально-нормальные распределения

Случай с продуктом коррелированных нормальных выборок недавно рассматривался Надараджахой и Погани. ^[9] Пусть среднее значение равно нулю, единичная дисперсия, нормально распределенная, зависит от коэффициента корреляции. ${\displaystyle X{\text{, }}Y}$ ${\displaystyle \rho {\text{ and let }}Z=XY}$

Затем

${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left({\frac {\rho z}{1-\rho ^{2}}}\right)K_{0}\left({\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\right)}$

Среднее значение и дисперсия : среднее значение мы получаем из определения коэффициента корреляции. Дисперсия может быть найдена путем преобразования двух единичных дисперсий в нулевое среднее некоррелированных переменных U, V. Позволять ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\rho }$

${\displaystyle X=U,\;\;Y=\rho U+{\sqrt {(1-\rho ^{2})}}V}$

Тогда X, Y — переменные единичной дисперсии с коэффициентом корреляции и ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle (XY)^{2}=U^{2}{\bigg (}\rho U+{\sqrt {(1-\rho ^{2})}}V{\bigg )}^{2}=U^{2}{\bigg (}\rho ^{2}U^{2}+2\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}UV+(1-\rho ^{2})V^{2}{\bigg )}}$

Удалив члены нечетной степени, математические ожидания которых заведомо равны нулю, мы получаем

${\displaystyle \operatorname {E} [(XY)^{2}]=\rho ^{2}\operatorname {E} [U^{4}]+(1-\rho ^{2})\operatorname {E} [U^{2}]\operatorname {E} [V^{2}]=3\rho ^{2}+(1-\rho ^{2})=1+2\rho ^{2}}$

Поскольку у нас есть ${\displaystyle (\operatorname {E} [Z])^{2}=\rho ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Z)=\operatorname {E} [Z^{2}]-(\operatorname {E} [Z])^{2}=1+2\rho ^{2}-\rho ^{2}=1+\rho ^{2}}$

Асимптота высокой корреляции . В случае высокой корреляции произведение сходится на квадрате одной выборки. В этом случае асимптота равна и ${\displaystyle \rho \rightarrow 1}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle K_{0}(x)\rightarrow {\sqrt {\tfrac {\pi }{2x}}}e^{-x}{\text{ in the limit as }}x={\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(z)&\rightarrow {\frac {1}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left({\frac {\rho z}{1-\rho ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\pi (1-\rho ^{2})}{2z}}}\exp \left(-{\frac {|z|}{1-\rho ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp {\Bigg (}{\frac {-|z|+\rho z}{(1-\rho )(1+\rho )}}{\Bigg )}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp {\Bigg (}{\frac {-z}{1+\rho }}{\Bigg )},\;\;z>0\\&\rightarrow {\frac {1}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}){\sqrt {2z}}}}e^{-{\tfrac {z}{2}}},\;\;{\text{ as }}\rho \rightarrow 1\\\end{aligned}}}$

которое представляет собой распределение хи-квадрат с одной степенью свободы.

Множественные коррелированные выборки . Надараджаха и др. далее покажите, что если случайные величины iid выбраны из и являются их средним значением, то ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},..Z_{n}{\text{ are }}n}$ ${\displaystyle f_{Z}(z)}$ ${\displaystyle {\bar {Z}}={\tfrac {1}{n}}\sum Z_{i}}$

${\displaystyle f_{\bar {Z}}(z)={\frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}\exp \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}z\right){W}_{0,{\frac {1-n}{2}}}(|z|),\;\;-\infty <z<\infty .}$

где W — функция Уиттекера, а . ${\displaystyle \beta ={\frac {n}{1-\rho }},\;\;\gamma ={\frac {n}{1+\rho }}}$

Используя идентификатор , см., например, компиляцию DLMF. eqn(13.13.9), ^[10] это выражение можно несколько упростить до ${\displaystyle W_{0,\nu }(x)={\sqrt {\frac {x}{\pi }}}K_{\nu }(x/2),\;\;x\geq 0}$

${\displaystyle f_{\bar {z}}(z)={\frac {n^{n/2}2^{-n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}|z|^{n/2-1}\exp \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}z\right){\sqrt {{\frac {\beta +\gamma }{\pi }}|z|}}\;K_{\frac {1-n}{2}}\left({\frac {\beta +\gamma }{2}}|z|\right),\;\;-\infty <z<\infty .}$

В формате PDF дано предельное распределение выборочной двумерной нормальной ковариации, результат также показан в статье «Распределение Уишарта». Примерное распределение коэффициента корреляции можно найти с помощью преобразования Фишера .

Множественные нецентрально коррелированные выборки . Распределение продукта коррелированных нецентральных нормальных выборок было получено Cui et al. ^[11] и принимает вид бесконечной серии модифицированных функций Бесселя первого рода.

Моменты произведения коррелированных центральных нормальных выборок

Для центрального нормального распределения N(0,1) моменты равны

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}]={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{p}\exp(-{\tfrac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}})\,dx={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

где обозначает двойной факториал . ${\displaystyle n!!}$

Если - центральные коррелированные переменные, простейший двумерный случай многомерной проблемы нормальных моментов, описанной Каном, ^[12], тогда ${\displaystyle X,Y\sim {\text{Norm}}(0,1)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{p}Y^{q}]={\begin{cases}0&{\text{if }}p+q{\text{ is odd,}}\\{\frac {p!q!}{2^{\tfrac {p+q}{2}}}}\sum _{k=0}^{t}{\frac {(2\rho )^{2k}}{{\Big (}{\frac {p}{2}}-k{\Big )}!\;{\Big (}{\frac {q}{2}}-k{\Big )}!\;(2k)!}}&{\text{if }}p{\text{ and }}q{\text{ are even}}\\{\frac {p!q!}{2^{\tfrac {p+q}{2}}}}\sum _{k=0}^{t}{\frac {(2\rho )^{2k+1}}{{\Big (}{\frac {p-1}{2}}-k{\Big )}!\;{\Big (}{\frac {q-1}{2}}-k{\Big )}!\;(2k+1)!}}&{\text{if }}p{\text{ and }}q{\text{ are odd}}\end{cases}}}$

где

${\displaystyle \rho }$– коэффициент корреляции и ${\displaystyle t=\min([p,q]/2)}$

[нужно проверить]

Коррелированные нецентральные нормальные распределения

Распределение продукта нецентрально коррелированных нормальных образцов было получено Cui et al. ^[11] и принимает вид бесконечного ряда.

Эти дистрибутивы продуктов в чем-то сравнимы с дистрибутивом Wishart . Последний представляет собой совместное распределение четырех элементов (на самом деле только трех независимых элементов) выборочной ковариационной матрицы. Если это выборки из двумерного временного ряда, то это матрица Уишарта с K степенями свободы. Распределения продуктов, приведенные выше, представляют собой безусловное распределение совокупности K > 1 образцов . ${\displaystyle x_{t},y_{t}}$ ${\displaystyle W=\sum _{t=1}^{K}{\dbinom {x_{t}}{y_{t}}}{\dbinom {x_{t}}{y_{t}}}^{T}}$ ${\displaystyle W_{2,1}}$

Независимые комплекснозначные центрально-нормальные распределения

Пусть это независимые выборки из нормального (0,1) распределения. Установкой являются независимые комплексные нормальные выборки с нулевым средним и круговой симметрией. Их комплексные дисперсии ${\displaystyle u_{1},v_{1},u_{2},v_{2}}$
${\displaystyle z_{1}=u_{1}+iv_{1}{\text{ and }}z_{2}=u_{2}+iv_{2}{\text{ then }}z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} |z_{i}|=2.}$

Функции плотности

${\displaystyle r_{i}\equiv |z_{i}|=(u_{i}^{2}+v_{i}^{2})^{\frac {1}{2}},\;\;i=1,2}$являются распределениями Рэлея , определяемыми как:

${\displaystyle f_{r}(r_{i})=r_{i}e^{-r_{i}^{2}/2}{\text{ of mean }}{\sqrt {\tfrac {\pi }{2}}}{\text{ and variance}}{\frac {4-\pi }{2}}}$

Переменная явно представляет собой хи-квадрат с двумя степенями свободы и имеет PDF ${\displaystyle y_{i}\equiv r_{i}^{2}}$

${\displaystyle f_{y_{i}}(y_{i})={\tfrac {1}{2}}e^{-y_{i}/2}{\text{ of mean value }}2}$

Уэллс и др. ^[13] показывают, что функция плотности равна ${\displaystyle s\equiv |z_{1}z_{2}|}$

${\displaystyle f_{s}(s)=sK_{0}(s),\;\;s\geq 0}$

а кумулятивная функция распределения равна ${\displaystyle s}$

${\displaystyle P(a)=\Pr[s\leq a]=\int _{s=0}^{a}sK_{0}(s)ds=1-aK_{1}(a)}$

Таким образом, полярное представление произведения двух некоррелированных комплексных гауссовых выборок равно

${\displaystyle f_{s,\theta }(s,\theta )=f_{s}(s)p_{\theta }(\theta ){\text{ where }}p(\theta ){\text{ is uniform on }}[0,2\pi ]}$.

Первый и второй моменты этого распределения можно найти из интеграла в разделе «Нормальные распределения» выше.

${\displaystyle m_{1}=\int _{0}^{\infty }s^{2}K_{0}(s)\,dx=2\Gamma ^{2}({\tfrac {3}{2}})=2({\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}})^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle m_{2}=\int _{0}^{\infty }s^{3}K_{0}(s)\,dx=2^{2}\Gamma ^{2}({\tfrac {4}{2}})=4}$

Таким образом, его дисперсия равна . ${\displaystyle \operatorname {Var} (s)=m_{2}-m_{1}^{2}=4-{\frac {\pi ^{2}}{4}}}$

Кроме того, плотность соответствует произведению двух независимых образцов Хи-квадрат, каждый с двумя степенями свободы. Записав их в виде масштабированных гамма-распределений , тогда из приведенных ниже гамма-продуктов плотность продукта будет равна ${\displaystyle z\equiv s^{2}={|r_{1}r_{2}|}^{2}={|r_{1}|}^{2}{|r_{2}|}^{2}=y_{1}y_{2}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle f_{y}(y_{i})={\tfrac {1}{\theta \Gamma (1)}}e^{-y_{i}/\theta }{\text{ with }}\theta =2}$

${\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{2}}K_{0}({\sqrt {z}}){\text{ with expectation }}\operatorname {E} (z)=4}$

Независимые комплексные нецентральные нормальные распределения

Произведение нецентральных независимых комплексных гауссианов описано О'Донохью и Мурой ^[14] и образует двойную бесконечную серию модифицированных функций Бесселя первого и второго типов.

Гамма-распределения

Произведение двух независимых гамма-выборок, определяющее , имеет вид ^[15] ${\displaystyle z=x_{1}x_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma (x;k_{i},\theta _{i})={\frac {x^{k_{i}-1}e^{-x/\theta _{i}}}{\Gamma (k_{i})\theta _{i}^{k_{i}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{Z}(z)&={\frac {2}{\Gamma (k_{1})\Gamma (k_{2})}}{\frac {z^{{\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}-1}}{(\theta _{1}\theta _{2})^{\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}}K_{k_{1}-k_{2}}\left(2{\sqrt {\frac {z}{\theta _{1}\theta _{2}}}}\right)\\\\&={\frac {2}{\Gamma (k_{1})\Gamma (k_{2})}}{\frac {y^{{\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}-1}}{\theta _{1}\theta _{2}}}K_{k_{1}-k_{2}}\left(2{\sqrt {y}}\right){\text{ where }}y={\frac {z}{\theta _{1}\theta _{2}}}\\\end{aligned}}}$

Бета-дистрибутивы

Нагар и др. ^[16] определяют коррелированное двумерное бета-распределение.

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{a-1}y^{b-1}(1-x)^{b+c-1}(1-y)^{a+c-1}}{B(a,b,c)(1-xy)^{a+b+c}}},\;\;\;0<x,y<1}$

где

${\displaystyle B(a,b,c)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)}{\Gamma (a+b+c)}}}$

Тогда PDF-файл Z = XY определяется выражением

${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {B(a+c,b+c)z^{a-1}(1-z)^{c-1}}{B(a,b,c)}}{_{2}F_{1}}(a+c,a+c;a+b+2c;1-z),\;\;\;0<z<1}$

где – гипергеометрическая функция Гаусса, определяемая интегралом Эйлера ${\displaystyle {_{2}F_{1}}}$

${\displaystyle {_{2}F_{1}}(a,b,c,z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{1}v^{a-1}(1-v)^{c-a-1}(1-vz)^{-b}\,dv}$

Обратите внимание, что многомерные распределения, как правило, не уникальны, за исключением случая Гаусса, и могут быть альтернативы.

Равномерное и гамма-распределения

Распределение произведения случайной величины, имеющей равномерное распределение по (0,1), на случайную величину, имеющую гамма-распределение с параметром формы, равным 2, является экспоненциальным распределением . ^[17] Более общий случай касается распределения произведения случайной величины, имеющей бета-распределение, на случайную величину, имеющую гамма-распределение : для некоторых случаев, когда параметры двух компонентных распределений связаны определенным образом, результатом снова является гамма-распределение, но с измененным параметром формы. ^[17]

K -распределение является примером нестандартного распределения, которое можно определить как распределение продукта (где оба компонента имеют гамма-распределение).

Гамма-распределения и распределения Парето

Произведение независимых выборок n Gamma и m Парето было получено Надараджей. ^[18]

Смотрите также

• Алгебра случайных величин
• Сумма независимых случайных величин

Примечания

1. Спрингер, Мелвин Дейл (1979). Алгебра случайных величин . Уайли . ISBN 978-0-471-01406-5. Проверено 24 сентября 2012 г.
2. Рохатги, ВК (1976). Введение в теорию вероятностей и математическую статистику . Ряд Уайли по вероятности и статистике. Нью-Йорк: Уайли. дои : 10.1002/9781118165676. ISBN 978-0-19-853185-2.
3. Гриммет, Греция; Стирзакер, Д.Р. (2001). Вероятность и случайные процессы. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-857222-0. Проверено 4 октября 2015 г.
4. Гудман, Лео А. (1960). «О точном отклонении продуктов». Журнал Американской статистической ассоциации . 55 (292): 708–713. дои : 10.2307/2281592. JSTOR  2281592.
5. Сарвате, Дилип (9 марта 2013 г.). «Дисперсия произведения нескольких случайных величин». Обмен стеками .
6. «Как найти характеристическую функцию произведения случайных величин» . Обмен стеками . 3 января 2013 г.
7. heropup (1 февраля 2014 г.). «распределение продукта из двух равномерных распределений, а как насчет 3 или более». Обмен стеками .
8. Градшейн, И.С.; Рыжик, И. М. (1980). Таблицы интегралов, рядов и произведений . Академическая пресса. стр. раздел 6.561.
9. Надараджа, Саралис; Погани, Тибор (2015). «О распределении произведения коррелированных нормальных случайных величин». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 354 (2): 201–204. дои : 10.1016/j.crma.2015.10.019 .
10. уравнение (13.18.9). «Цифровая библиотека математических функций». NIST: Национальный институт стандартов и технологий .{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
11. Цуй, Гуолун (2016). «Точное распределение произведения двух коррелирующих гауссовских случайных величин». Письма об обработке сигналов IEEE . 23 (11): 1662–1666. Бибкод : 2016ISPL...23.1662C. дои :10.1109/ЛСП.2016.2614539. S2CID  15721509.
12. Кан, Раймонд (2008). «От моментов суммы к моментам произведения». Журнал многомерного анализа . 99 (3): 542–554. дои : 10.1016/j.jmva.2007.01.013 .
13. Уэллс, RT; Андерсон, РЛ; Клетка, JW (1962). «Распределение произведения двух центральных или нецентральных переменных хи-квадрат». Анналы математической статистики . 33 (3): 1016–1020. дои : 10.1214/aoms/1177704469 .
14. О'Донохью, Н.; Моура, JMF (март 2012 г.). «О произведении независимых комплексных гауссианов». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 60 (3): 1050–1063. Бибкод : 2012ITSP...60.1050O. дои :10.1109/TSP.2011.2177264. S2CID  1069298.
15. Волки (август 2017 г.). «PDF произведения двух независимых гамма-случайных величин». стекобмен .
16. Нагар, ДК; Ороско-Кастаньеда, JM; Гупта, АК (2009). «Произведение и частное коррелирующих бета-переменных». Письма по прикладной математике . 22 : 105–109. дои : 10.1016/j.aml.2008.02.014 .
17. Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения, том 2, второе издание. Уайли. п. 306. ИСБН 978-0-471-58494-0. Проверено 24 сентября 2012 г.
18. Надараджа, Саралис (июнь 2011 г.). «Точное распределение произведения n гамма- и m случайных величин Парето». Журнал вычислительной и прикладной математики . 235 (15): 4496–4512. дои : 10.1016/j.cam.2011.04.018 .

Рекомендации

• Спрингер, Мелвин Дейл; Томпсон, МЫ (1970). «Распределение произведений бета-, гамма- и гауссовских случайных величин». SIAM Journal по прикладной математике . 18 (4): 721–737. дои : 10.1137/0118065. JSTOR  2099424.
• Спрингер, Мелвин Дейл; Томпсон, МЫ (1966). «Распределение произведений независимых случайных величин». SIAM Journal по прикладной математике . 14 (3): 511–526. дои : 10.1137/0114046. JSTOR  2946226.