Гиперэкспоненциальное распределение

Диаграмма, показывающая эквивалент системы массового обслуживания гиперэкспоненциальному распределению

В теории вероятностей гиперэкспоненциальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей , плотность вероятности случайной величины X которого определяется выражением

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(x)\;p_{i},}$

где каждый Y _i является экспоненциально распределенной случайной величиной с параметром скорости λ _i , а p _i является вероятностью того, что X примет форму экспоненциального распределения со скоростью λ _i . ^[1] Оно называется гиперэкспоненциальным распределением, поскольку его коэффициент вариации больше, чем у экспоненциального распределения, коэффициент вариации которого равен 1, и гипоэкспоненциальным распределением , коэффициент вариации которого меньше единицы. В то время как экспоненциальное распределение является непрерывным аналогом геометрического распределения , гиперэкспоненциальное распределение не является аналогом гипергеометрического распределения . Гиперэкспоненциальное распределение является примером плотности смеси .

Пример гиперэкспоненциальной случайной величины можно увидеть в контексте телефонии , где, если у кого-то есть модем и телефон, использование им телефонной линии можно смоделировать как гиперэкспоненциальное распределение, где существует вероятность p того, что он разговаривает по телефону со скоростью λ ₁ , и вероятность q того, что он использует свое интернет-соединение со скоростью  λ ₂ .

Характеристики

Поскольку ожидаемое значение суммы является суммой ожидаемых значений, ожидаемое значение гиперэкспоненциальной случайной величины можно представить как

${\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}$

и

${\displaystyle E\!\left[X^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i},}$

из которого мы можем вывести дисперсию: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=E\!\left[X^{2}\right]-E\!\left[X\right]^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}-\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}=\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}\left({\frac {1}{\lambda _{i}}}-{\frac {1}{\lambda _{j}}}\right)^{2}.}$

Стандартное отклонение в целом превышает среднее значение (за исключением вырожденного случая, когда все λ равны), поэтому коэффициент вариации больше 1.

Функция , генерирующая момент, определяется выражением

${\displaystyle E\!\left[e^{tx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.}$

Подгонка

Заданное распределение вероятностей , включая распределение с тяжелым хвостом , можно аппроксимировать гиперэкспоненциальным распределением путем рекурсивной подгонки к различным временным масштабам с использованием метода Прони . ^[3]

Смотрите также

• Распределение фазового типа
• Гипер-Эрланговское распределение
• Распределение Ломакса (непрерывная смесь экспонент)

Ссылки

1. Сингх, Л. Н.; Даттатрея, Г. Р. (2007). «Оценка гиперэкспоненциальной плотности с применением в сенсорных сетях». Международный журнал распределенных сенсорных сетей . 3 (3): 311. CiteSeerX  10.1.1.78.4137 . doi : 10.1080/15501320701259925.
2. HT Papadopolous; C. Heavey; J. Browne (1993). Теория очередей в анализе и проектировании производственных систем. Springer. стр. 35. ISBN 9780412387203.
3. Фельдманн, А.; Уитт , В. (1998). «Подгонка смесей экспонент к длиннохвостовым распределениям для анализа моделей производительности сети» (PDF) . Оценка производительности . 31 (3–4): 245. doi :10.1016/S0166-5316(97)00003-5.