Распределенная задержка

В статистике и эконометрике модель с распределенным лагом — это модель данных временных рядов , в которой уравнение регрессии используется для прогнозирования текущих значений зависимой переменной на основе как текущих значений объясняющей переменной , так и запаздывающих (прошлый период) значений эту объясняющую переменную. ^{[1] [2]}

Отправной точкой для модели с распределенным лагом является предполагаемая структура вида

${\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+{\text{error term}}}$

или форма

${\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+w_{n}x_{t-n}+{\text{error term}},}$

где y _t — значение зависимой переменной y в период времени t , a — оцениваемый член, а w _i называется лаговым весом (также подлежащим оценке), приложенным к значению i периодов ранее независимой переменной. Икс . В первом уравнении предполагается, что на зависимую переменную влияют значения независимой переменной сколь угодно далеко в прошлом, поэтому количество весов запаздывания бесконечно, и модель называется моделью с бесконечным распределенным запаздыванием . В альтернативном втором уравнении имеется только конечное число весов лага, что указывает на предположение о том, что существует максимальный лаг, за пределами которого значения независимой переменной не влияют на зависимую переменную; модель, основанная на этом предположении, называется моделью с конечным распределенным лагом .

В модели с бесконечным распределенным лагом необходимо оценить бесконечное количество весов лагов; ясно, что это можно сделать только в том случае, если предположить некоторую структуру отношений между различными весами запаздывания, причем вся их бесконечность выражается через конечное число предполагаемых основных параметров. В модели с конечным распределенным запаздыванием параметры могут быть непосредственно оценены с помощью обычного метода наименьших квадратов (при условии, что количество точек данных значительно превышает количество весов запаздывания); тем не менее, такая оценка может дать очень неточные результаты из-за крайней мультиколлинеарности между различными лаговыми значениями независимой переменной, поэтому снова может оказаться необходимым предположить некоторую структуру связи между различными весами лага.

Концепция моделей с распределенным запаздыванием легко обобщается на контекст более чем одной объясняющей переменной в правой части.

Неструктурированная оценка

Самый простой способ оценить параметры, связанные с распределенными задержками, - это обычный метод наименьших квадратов , предполагающий фиксированное максимальное запаздывание , предполагающий независимо и одинаково распределенные ошибки и не налагающий никакой структуры на отношения коэффициентов запаздывающих объяснителей друг с другом. Однако часто возникает мультиколлинеарность среди отстающих объяснителей, что приводит к высокой дисперсии оценок коэффициентов. ${\displaystyle p}$

Структурированная оценка

Структурированные модели с распределенным лагом бывают двух типов: конечные и бесконечные. Бесконечные распределенные лаги позволяют значению независимой переменной в определенный момент времени влиять на зависимую переменную бесконечно далеко в будущем, или, другими словами, они позволяют значению независимой переменной влиять на текущее значение зависимой переменной. это произошло бесконечно давно; но после некоторого периода задержки эффект снижается до нуля. Конечные распределенные лаги позволяют независимой переменной в определенный момент времени влиять на зависимую переменную только в течение конечного числа периодов.

Конечные распределенные лаги

Наиболее важной структурированной моделью с конечным распределенным лагом является модель лага Алмона . ^[3] Эта модель позволяет данным определять форму лаговой конструкции, но исследователь должен указать максимальную длину лаги; неправильно указанная максимальная длина лага может исказить форму предполагаемой структуры лага, а также кумулятивный эффект независимой переменной. Лаг Алмона предполагает, что k + 1 лаговых весов связаны с n + 1 линейно оцениваемыми базовыми параметрами ( n < k ) a _j в соответствии с

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=0}^{n}a_{j}i^{j}}$

для ${\displaystyle i=0,\dots ,k.}$

Бесконечные распределенные лаги

Наиболее распространенным типом структурированной модели бесконечного распределенного лага является геометрический лаг , также известный как лаг Койка . В этой лаговой структуре веса (величины влияния) значений запаздывающих независимых переменных уменьшаются экспоненциально с длиной лага; хотя форма лаговой структуры, таким образом, полностью зависит от выбора этого метода, скорость снижения, а также общая величина эффекта определяются данными. Спецификация уравнения регрессии очень проста: в качестве объяснителей (правых переменных в регрессии) включаются значение зависимой переменной с лагом в один период и текущее значение независимой переменной:

${\displaystyle y_{t}=a+\lambda y_{t-1}+bx_{t}+{\text{error term}},}$

где . В этой модели краткосрочный (за один и тот же период) эффект изменения единицы измерения независимой переменной равен значению b , тогда как долгосрочный (кумулятивный) эффект устойчивого изменения единицы измерения независимой переменной можно показать как быть ${\displaystyle 0\leq \lambda <1}$

${\displaystyle b+\lambda b+\lambda ^{2}b+...=b/(1-\lambda ).}$

Были предложены другие модели с бесконечным распределенным запаздыванием, позволяющие данным определять форму структуры запаздывания. Полиномиальный обратный лаг ^{[4] [5]} предполагает, что веса лага связаны с основными, линейно оцениваемыми параметрами a _j в соответствии с

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}{\frac {a_{j}}{(i+1)^{j}}},}$

для ${\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}$

Геометрическая комбинация лагов ^[6] предполагает, что веса лагов связаны с основными, линейно оцениваемыми параметрами a _j согласно либо

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}a_{j}(1/j)^{i},}$

для или ${\displaystyle i=0,\dots ,\infty }$

${\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}[j/(n+1)]^{i},}$

для ${\displaystyle i=0,\dots ,\infty .}$

Гамма -лаг ^[7] и рациональный лаг ^[8] — это другие структуры с бесконечным распределенным лагом.

Модель распределенного лага в исследованиях здоровья

Модели с распределенным лагом были введены в исследования, связанные со здоровьем, в 2002 году Занобетти и Шварцем. ^[9] Байесовская версия модели была предложена Уэлти в 2007 году. ^[10] Гаспаррини представил более гибкие статистические модели в 2010 году ^[11] , которые способны описывать дополнительные временные измерения взаимосвязи воздействия и реакции, и разработал семейство Нелинейные модели с распределенной задержкой (DLNM) — система моделирования, которая может одновременно представлять нелинейные зависимости «воздействие-реакция» и отложенные эффекты. ^[12]

Концепция модели распределенного лага была впервые применена к продольному когортному исследованию Сюем в 2015 году ^[13] для изучения взаимосвязи между PM2,5 и детской астмой , а более сложный метод распределенного лага был направлен на анализ продольного когортного исследования, такой как байесовский распределенный лаг. Модель взаимодействия ^[14] Уилсона была впоследствии разработана для ответа на аналогичные исследовательские вопросы.

Смотрите также

• АРМАКС
• Смешанная выборка данных

Рекомендации

1. Кромвель, Джефф Б.; и другие. (1994). Многомерные тесты для моделей временных рядов . Публикации SAGE. ISBN 0-8039-5440-9.
2. Судья, Джордж Г.; Гриффитс, Уильям Э.; Хилл, Р. Картер; Ли, Цунг-Чао (1980). Теория и практика эконометрики . Нью-Йорк: Уайли. стр. 637–660. ISBN 0-471-05938-2.
3. Алмон, Ширли, «Распределенный лаг между капитальными ассигнованиями и чистыми расходами», Econometrica 33, 1965, 178–196.
4. Митчелл, Дуглас В. и Спикер, Пол Дж., «Простой, гибкий метод распределенного лага: полиномиальный обратный лаг», Journal of Econometrics 31, 1986, 329–340.
5. Геллес, Грегори М. и Митчелл, Дуглас В., «Аппроксимационная теорема для полиномиальной обратной задержки», Economics Letters 30, 1989, 129–132.
6. Спикер, Пол Дж., Митчелл, Дуглас В. и Геллес, Грегори М., «Геометрические комбинации запаздывают как гибкие бесконечные распределенные оценки лага», Журнал экономической динамики и контроля 13, 1989, 171-185.
7. Шмидт, Питер (1974). «Модификация распределенного лага Almon». Журнал Американской статистической ассоциации . 69 (347): 679–681. дои : 10.1080/01621459.1974.10480188.
8. Йоргенсон, Дейл В. (1966). «Рациональные распределенные функции запаздывания». Эконометрика . 34 (1): 135–149. дои : 10.2307/1909858. JSTOR  1909858.
9. Занобетти, Антонелла; Шварц, Джоэл; Самоли, Эви; Грипарис, Александрос; Тулуми, Джота; Аткинсон, Ричард; Ле Тертр, Ален; Боброс, Янош; Селко, Мартин; Горен, Аяна; Форсберг, Бертиль (январь 2002 г.). «Временная структура реакции смертности на загрязнение воздуха: оценка смещения смертности в нескольких городах». Эпидемиология . 13 (1): 87–93. дои : 10.1097/00001648-200201000-00014 . ISSN  1044-3983. PMID  11805591. S2CID  25181383.
10. Велти, ЖЖ; Пэн, РД; Зегер, СЛ; Доминичи, Ф. (март 2009 г.). «Байесовские модели с распределенным лагом: оценка влияния загрязнения воздуха твердыми частицами на ежедневную смертность». Биометрия . 65 (1): 282–291. дои : 10.1111/j.1541-0420.2007.01039.x. ISSN  1541-0420. ПМИД  18422792.
11. Гаспаррини, А; Армстронг, Б; Кенвард, МГ (20 сентября 2010 г.). «Нелинейные модели с распределенным запаздыванием». Статистика в медицине . 29 (21): 2224–2234. дои : 10.1002/сим.3940. ISSN  0277-6715. ПМЦ 2998707 . ПМИД  20812303. 
12. «Нелинейные модели с распределенной задержкой [пакет R dlnm, версия 2.4.6]» . cran.r-project.org . 15 июня 2021 г. Проверено 17 сентября 2021 г.
13. Леон Сюй, Сяо-Сянь; Матильда Чиу, Юэ-Сю; Коулл, Брент А.; Клоог, Итай; Шварц, Джоэл; Ли, Элисон; Райт, Роберт О.; Райт, Розалинда Дж. (01 ноября 2015 г.). «Пренатальное загрязнение воздуха твердыми частицами и возникновение астмы у городских детей. Выявление чувствительных окон и половых различий». Американский журнал респираторной медицины и медицины интенсивной терапии . 192 (9): 1052–1059. doi : 10.1164/rccm.201504-0658OC. ISSN  1073-449X. ПМЦ 4642201 . ПМИД  26176842. 
14. Уилсон, Андер; Чиу, Юэ-Сю Матильда; Сюй, Сяо-Сянь Леон; Райт, Роберт О.; Райт, Розалинда Дж.; Коулл, Брент А. (июль 2017 г.). «Байесовские модели взаимодействия с распределенным лагом для выявления перинатальных окон уязвимости здоровья детей». Биостатистика . 18 (3): 537–552. doi : 10.1093/biostatistics/kxx002. ISSN  1465-4644. ПМЦ 5862289 . ПМИД  28334179.