Рассеивание носителей заряда

Типы дефектов включают в себя атомные вакансии, адатомы , ступеньки и перегибы, которые чаще всего встречаются на поверхностях из-за конечного размера материала, вызывающего нарушение непрерывности кристалла. Что общего у всех типов дефектов, будь то поверхностные или объемные дефекты, так это то, что они создают оборванные связи , которые имеют определенные уровни электронной энергии, отличные от уровней основной массы. Это различие возникает из-за того, что эти состояния не могут быть описаны периодическими волнами Блоха из-за изменения потенциальной энергии электронов, вызванного отсутствующими ионными ядрами сразу за поверхностью. Следовательно, это локализованные состояния, которые требуют отдельных решений уравнения Шредингера, чтобы можно было правильно описать электронную энергию. Нарушение периодичности приводит к снижению проводимости из-за рассеяния дефектов .

Электронные энергетические уровни оборванных связей полупроводника

Рисунок 1: Энергетическая диаграмма Харрисона энергий электронов на разных стадиях формирования кристалла Si. Вертикальная ось - энергия. Орбитали 3s и 3p гибридизуются на одном атоме Si, что энергетически невыгодно, поскольку электроны 2 3s получают больше энергии, чем теряют электроны 2 3p. Благоприятное образование димера образует связывающие (b) и антисвязывающие (b*) состояния, что в конечном итоге приводит к чистой потере энергии, а последующее добавление атомов создает кристалл, формирующий зону проводимости (CB) и валентную зону (VB). Состояния оборванных связей (db) эквивалентны отсутствующей связи sp ³ .

Более простой и качественный способ определения уровней энергии оборванных связей — диаграммы Харрисона. ^{[1] [2]} Металлы имеют ненаправленную связь и малую длину Дебая , что из-за их заряженной природы делает оборванные связи несущественными, если их вообще можно считать существующими. Полупроводники являются диэлектриками , поэтому электроны могут чувствовать и попадать в ловушки дефектных энергетических состояний. Уровни энергии этих состояний определяются атомами, составляющими твердое тело. На рисунке 1 показана диаграмма Харрисона для элементарного полупроводника Si. Слева направо s-орбитальная и p-орбитальная гибридизация способствует образованию sp ³ -связей, которые, когда несколько димеров sp ³ Si-Si объединяются для образования твердого тела, определяют зоны проводимости и валентности. Если бы существовала вакансия, например, на каждом атоме на границе твердое тело/вакуум, это привело бы по крайней мере к одной разорванной sp ³ связи, которая имеет энергию, равную энергии отдельных самогибридизованных атомов Si, как показано на рисунке 1. Эта энергия соответствует примерно середине запрещенной зоны Si, ~0,55 эВ выше валентной зоны. Конечно, это самый идеальный случай, тогда как ситуация была бы иной, если бы произошла, например, пассивация связи (см. ниже) и реконструкция поверхности . Экспериментально энергии этих состояний можно определить с помощью абсорбционной спектроскопии или рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии , например, если чувствительность прибора и/или плотность дефектов достаточно высоки.

Рисунок 2: Диаграмма энергии электронов Харрисона для полупроводникового соединения III-IV GaAs. Как и для Si, кристалл построен с добавлением гибридизированных димеров GaAs. Поскольку вакансии вызывают образование оборванных связей Ga, образующих состояния вблизи CB. Вакансии Ga создают оборванные связи As с энергиями вблизи VB. VB состоит в основном из состояний «As-подобных», поскольку ионность помещает электроны на атомы As и, как следствие, состояния CB являются «Ga-подобными».

Полупроводниковые соединения, такие как GaAs, имеют состояния оборванных связей, которые находятся ближе к краям зоны (см. Рисунок 2). Поскольку связь становится все более ионной, эти состояния могут даже действовать как легирующие примеси . Это является причиной хорошо известной трудности легирования GaN p-типа, где вакансии N обильны из-за его высокого давления паров, что приводит к высокой плотности оборванных связей Ga. Эти состояния находятся близко к краю зоны проводимости и, следовательно, действуют как доноры. Когда вводятся акцепторные легирующие примеси p-типа, они немедленно компенсируются вакансиями N. С этими мелкими состояниями их обработка часто рассматривается как аналог атома водорода следующим образом для случая как анионных, так и катионных вакансий (эффективная масса дырки, m*, для катиона и электрона m* для анионных вакансий). Энергия связи, E _c -E _db , равна , где U=-q ² /(4πεε _r r) - электростатический потенциал между электроном, занимающим оборванную связь, и его ионным ядром с ε, постоянной диэлектрической проницаемостью свободного пространства, ε _r , относительной диэлектрической проницаемостью, и r - разделением электрон-ионного ядра. Упрощение, заключающееся в том, что поступательная энергия электрона, KE=-U/2, обусловлена ​​теоремой вириала для центросимметричных потенциалов. Как описано в модели Бора , r подлежит квантованию . Импульс электрона равен p=mv=h/λ, так что в результате получается и . Такая трактовка теряет точность, поскольку дефекты стремятся отойти от края любой зоны.
${\displaystyle E_{c}-E_{db}=U+KE={\frac {1}{2}}U\;\;(1)}$

${\displaystyle n\lambda =2\pi r\;\;(2)}$

${\displaystyle KE={\frac {p^{2}}{2m^{*}}}={\frac {h^{2}n^{2}}{8m^{*}\pi ^{2}r^{2}}}=-{\frac {U}{2}}={\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon \varepsilon _{r}r}}\;\;(3)}$

${\displaystyle r={\frac {4\pi \hbar ^{2}n^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}{q^{2}m^{*}}}\;\;(4)}$

${\displaystyle E_{c}-E_{db}={\frac {U}{2}}={\frac {m^{*}q^{4}}{8h^{2}(\varepsilon \varepsilon _{r})^{2}}}\;\;(5)}$

Рассеивание дефектов

Уровни энергии оборванных связей являются собственными значениями волновых функций, которые описывают электроны вблизи дефектов. При типичном рассмотрении рассеяния носителей это соответствует конечному состоянию в золотом правиле Ферми частоты рассеяния: где H' является параметром взаимодействия, а дельта-функция Дирака , δ(E _f -E _i ), указывает на упругое рассеяние . Простое соотношение 1/τ= Σ _k',k S _k'k делает это уравнение полезным для характеристики свойств переноса материала при использовании в сочетании с σ = ne ² τ /m* и правилом Маттиссена для включения других процессов рассеяния.
${\displaystyle S_{k'k}={\frac {2\pi }{\hbar }}|<f|H'|i>|^{2}\delta (E_{f}-E_{i})\;\;(6)}$

Значение S _k'k в первую очередь определяется параметром взаимодействия, H'. Этот член различается в зависимости от того, рассматриваются ли мелкие или глубокие состояния. Для мелких состояний H' является членом возмущения переопределенного гамильтониана H=H _o +H', причем H _o имеет энергию собственного значения E _i . Матрица для этого случая имеет вид ^[3], где k' - волновой вектор конечного состояния, у которого есть только одно значение, поскольку плотность дефектов достаточно мала, чтобы не образовывать полосы (~<10 ¹⁰ /см ² ). Использование уравнения Пуассона для периодических точечных зарядов Фурье, , дает коэффициент Фурье потенциала от оборванной связи V _q =e/(q ² εε _r V), где V - объем. Это приводит к тому, что , где q _s - поправка к волновому вектору длины Дебая из-за экранирования заряда. Тогда частота рассеяния равна , где n - объемная плотность дефектов. Выполнение интегрирования с использованием |k|=|k'| дает . Вышеуказанная обработка дает сбой, когда дефекты не являются периодическими, поскольку потенциалы оборванных связей представлены рядом Фурье. Упрощение суммы на множитель n в уравнении (10) было возможно только из-за низкой плотности дефектов. Если бы каждый атом (или, возможно, каждый другой) имел одну оборванную связь, что вполне разумно для нереконструированной поверхности, интеграл по k' также должен быть выполнен. Из-за использования теории возмущений при определении матрицы взаимодействия, вышеприведенное предполагает малые значения H' или мелкие дефектные состояния вблизи краев зон. К счастью, само золотое правило Ферми является довольно общим и может использоваться для дефектов глубоких состояний, если взаимодействие между электроном проводимости и дефектом понято достаточно хорошо, чтобы смоделировать их взаимодействие в оператор, который заменяет H'.
${\displaystyle <f|H'|i>\equiv M_{k'k}={\frac {1}{V}}\int d{\bar {r}}H'e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}')}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}\int d{\bar {r}}H_{\bar {q}}e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}'+{\bar {q}})}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}H_{\bar {q}}\delta _{{\bar {k}}-{\bar {k}}'},_{\bar {q}}={\frac {1}{V}}H_{\bar {q}}\;\;(7)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}V({\bar {r}})={\frac {-e\delta ({\bar {r}})}{\varepsilon \varepsilon _{r}}}=-\sum _{\bar {q}}{\bar {q}}^{2}V_{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}={\frac {-e}{V\varepsilon \varepsilon _{r}}}\ \sum _{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}\;\;(8)}$

${\displaystyle H_{\bar {q}}=-eV_{\bar {q}}={\frac {-e^{2}}{{\bar {q}}^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}V}}={\frac {-e^{2}}{({\bar {q}}^{2}+q_{s}^{2})\varepsilon \varepsilon _{r}V}}\;\;(9)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{{\bar {k}}',{\bar {k}}}S_{{\bar {k}}'{\bar {k}}}=n\sum _{\bar {k}}{\frac {2\pi }{\hbar }}{\frac {e^{4}\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{\varepsilon \varepsilon _{r}V[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}={\frac {ne^{4}}{4\pi ^{2}\hbar \varepsilon \varepsilon _{r}}}\int \int \int dkd\theta d\phi {\frac {k^{2}sin\theta \;\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}\;\;(10)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {ne^{4}}{2\pi {\sqrt {2m^{*}(E_{c}-E_{db})}}\hbar ^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{q_{s}^{2}}}-{\frac {1}{q_{s}^{2}+{\frac {8m^{*}(E_{c}-E_{db})}{\hbar ^{2}}}}}\right)\;\;(11)}$

Экспериментальные измерения

Рисунок 3: (Вверху) Простые развертки напряжения исток-сток с увеличивающейся плотностью дефектов могут быть использованы для извлечения скорости рассеяния носителей и энергии оборванной связи (красная кривая с большим количеством дефектов). (Внизу) Температурная зависимость удельного сопротивления. Вблизи абсолютного нуля выявляется вес дефектов в рассеянии носителей.

Определение степени влияния этих оборванных связей на электрический транспорт можно довольно легко экспериментально наблюдать. Применяя напряжение на проводнике (рисунок 3), можно определить сопротивление и при определенной геометрии проводимость образца. Как упоминалось ранее, σ = ne ² τ /m*, где τ можно определить, зная n и m* из положения уровня Ферми и структуры зон материала. К сожалению, это значение содержит эффекты от других механизмов рассеяния, таких как из-за фононов. Это становится полезным, когда измерение используется вместе с уравнением (11), где наклон графика 1/τ от n делает E _c -E _db вычисляемым, а пересечение определяет 1/τ из всех процессов рассеяния, кроме дефектов. Это требует предположения, что рассеяние фононов (среди других, возможно, пренебрежимо малых процессов) не зависит от концентрации дефектов.
В подобном эксперименте можно просто понизить температуру проводника (рисунок 3), так что плотность фононов уменьшится до пренебрежимо малого значения, что позволит дефекту стать доминирующим сопротивлением. В этом случае σ = ne ² τ /m* можно использовать для непосредственного расчета τ для рассеяния дефектов.

Пассивация

Рисунок 4: Пассивация водородом полевого транзистора Si металл-оксид-полупроводник (MOSFET) для снижения состояний интерфейса Si/SiO _{2. Водород связывается с Si, полностью удовлетворяя гибридизации sp} ³ , обеспечивая заполнение дефектных состояний, предотвращая рассеивание носителей в эти состояния.

Поверхностные дефекты всегда можно «пассивировать» атомами, чтобы целенаправленно занять соответствующие энергетические уровни, так что электроны проводимости не смогут рассеиваться в эти состояния (эффективно уменьшая n в уравнении (10)). Например, пассивация Si на границе канала/оксида МОП -транзистора водородом (рисунок 4) является типичной процедурой, помогающей уменьшить плотность дефектов ~10 ¹⁰ см ⁻² до 12 раз ^[4], тем самым улучшая подвижность и, следовательно, скорости переключения. Удаление промежуточных состояний, которые в противном случае уменьшили бы туннельные барьеры, также уменьшает ток утечки затвора и увеличивает емкость затвора , а также переходный отклик. Эффект заключается в том, что связь Si sp ³ становится полностью удовлетворенной. Очевидным требованием здесь является способность полупроводника окислять пассивирующий атом или, E _c -E _db + χ > E _I , со сродством к электрону полупроводника χ и энергией ионизации атома E _I .

Рассеяние фононов

Теперь рассмотрим рассеяние носителей с деформациями решетки, называемыми фононами . Рассмотрим объемное смещение, которое производит распространяющаяся волна, , что, следовательно, приводит к зависящей от времени деформации, где простая плоская волна используется для описания распространения фононов, . Смещение атомов от их положений равновесия обычно вызывает изменение электронной зонной структуры (рисунок 5), где для рассеяния мы имеем дело с электронами в зоне проводимости с энергией ~E _CB , . Эмпирический параметр, Z _DP , называется потенциалом деформации и описывает силу связи электронов с фононами. Умножение на популяцию фононов ( распределение Бозе–Эйнштейна , N _q ) дает полный потенциал деформации, ${\displaystyle \Delta V_{0}}$ ${\displaystyle \Delta V_{0}/V_{0}=\bigtriangledown u(r,t)}$ ${\displaystyle u(r,t)\propto exp\pm (iqr-i\omega t)}$
${\displaystyle \Delta E_{CB}={\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}\Delta V_{0}=V_{0}{\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}{\frac {\Delta V_{0}}{V_{0}}}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t)\;\;(12)}$

${\displaystyle \Delta E_{CB}^{Tot}={\widehat {H}}_{int}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\;\;(13)}$

Рисунок 5: Схема изменения краев энергетических зон (зоны проводимости E _CB и валентной зоны E _VB ) по мере смещения атомных положений кристалла из положения равновесия, что приводит к возникновению объемной деформации.

(причина появления корня будет очевидна ниже). Здесь + соответствует испусканию фонона, а – поглощению фонона во время события рассеяния. Примечание: для поперечных фононов ненулевыми являются только взаимодействия с продольными фононами. Таким образом, полная матрица взаимодействия — это матрица, где дельта Кронекера обеспечивает сохранение импульса и возникает из предположения, что электронные волновые функции (конечное состояние, и начальное состояние, ) также являются плоскими волнами. ${\displaystyle q\perp u(r,t)}$
${\displaystyle <k'|{\widehat {H}}_{int}|k>=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\delta _{k',k\pm q}\;\;(14)}$
${\displaystyle <k'|}$ ${\displaystyle |k>}$

Акустические фононы

Используя золотое правило Ферми, можно аппроксимировать скорость рассеяния для низкоэнергетических акустических фононов. Матрица взаимодействия для этих фононов имеет угловую частоту фонона ω _q = cq, объем V, плотность твердого тела ρ и групповую скорость фонона c. ^[5] Подстановка этого в уравнение 6 дает . При предположениях, что N _q >>1, ħω<<kT и g(E') ~ g(E) (что обычно справедливо для 3D-кристаллов, поскольку энергии электронов проводимости, как правило, намного больше, чем ħω, а g(E) не имеет какой-либо сингулярности Ван Хова ) дает скорость рассеяния: где g(E) — это электронная плотность состояний, для которой использовалось 3-мерное решение с параболической дисперсией для получения окончательного ответа.
${\displaystyle |<k'|{\widehat {H}}_{int}|k>|^{2}=Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\;\;(15)}$

${\displaystyle S_{k'k}^{Ac}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]\;\;(16)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Ac}=\sum _{k}S_{k\pm q,k}^{Ac}}$
${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}({\frac {kT}{\hbar \omega _{q}}})\sum _{k}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]}$
${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {kT}{2V\rho c^{2}}}V\times g(E)}$
${\displaystyle ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {Z_{DP}^{2}m^{*{\frac {3}{2}}}kT}{\rho \hbar ^{4}c^{2}}}{\sqrt {E-E_{CB}}}\;\;(17)}$

Оптические фононы

Обычно фононы в оптических ветвях колебательных дисперсионных соотношений имеют энергию порядка или больше kT, и, следовательно, приближения ħω<<kT и N _q >>1 не могут быть сделаны. Тем не менее, разумный путь, который все еще обеспечивает обходной путь от рассмотрения сложных фононных дисперсий, заключается в использовании модели Эйнштейна , которая утверждает, что в твердых телах существует только одна фононная мода. Для оптических фононов это приближение оказывается достаточным из-за очень малого изменения наклона в ω(q), и, таким образом, мы можем утверждать, что ħω(q) ≅ ħω, константа. Следовательно, N _q также является константой (зависящей только от T). Последнее приближение, g(E')=g(E±ħω) ~ g(E), не может быть сделано, поскольку ħω ~ E, и для него нет обходного пути, но добавленная сложность к сумме для τ минимальна . Сумма превращается в плотность состояний в E', а распределение Бозе–Эйнштейна можно вычесть из суммы ввиду ħω(q) ≅ ħω.
${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Op}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\sum _{k'}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega ]}$
${\displaystyle =Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{8\pi ^{2}\hbar \rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})g(E\pm \hbar \omega )\;\;(18)}$

Примечания

1. Харрисон, Уолтер А., Электронная структура и свойства твердых тел: физика химической связи. Сан-Франциско: Freeman, 1980.
2. Рокетт, Ангус, Материаловедение полупроводников. Нью-Йорк: Springer, 2007.
3. Гесс, Карл, Расширенная теория полупроводниковых приборов. Нью-Йорк: Wiley Interscience, 2000.
4. Фонан, Б.; Ипри, А.С. IEEE Trans. Elec. Dev. 36 , 101, 1999.
5. Конвелл, Э.М., «Транспорт в сильных полях в полупроводниках», в книге «Физика твердого тела», под ред. Ф. Зейтца, Д. Тернбулла и Х. Эренрайха, Приложение 9. Нью-Йорк: Academic Press, 1967, стр. 108.