Проективный пучок

Расслоение волокон, волокнами которого являются проективные пространства

В математике проективное расслоение — это расслоение волокон , слоями которого являются проективные пространства .

По определению, схема X над нётеровой схемой S является P ⁿ -расслоением, если она локально является проективным n -пространством; т.е. и автоморфизмы перехода линейны. Над регулярной схемой S , такой как гладкое многообразие , каждое проективное расслоение имеет вид для некоторого векторного расслоения ( локально свободного пучка ) E . ^[1] ${\displaystyle X\times _{S}U\simeq \mathbb {P} _{U}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$

Проективное расслоение векторного расслоения

Каждое векторное расслоение над многообразием X дает проективное расслоение, взяв проективные пространства слоев, но не все проективные расслоения возникают таким образом: в группе когомологий H ² ( X ,O*) есть препятствие . Чтобы понять почему, напомним, что проективное расслоение оснащено функциями перехода на двойных пересечениях подходящего открытого покрытия. На тройных перекрытиях любой подъем этих функций перехода удовлетворяет условию коцикла с точностью до обратимой функции. Набор этих функций образует 2-коцикл, который исчезает в H ² ( X ,O*) только если проективное расслоение является проективизацией векторного расслоения. В частности, если X — компактная риманова поверхность , то H ² ( X ,O*)=0, и поэтому это препятствие исчезает.

Проективное расслоение векторного расслоения E — это то же самое, что грассманово расслоение 1-плоскостей в E. ${\displaystyle G_{1}(E)}$

Проективное расслоение P ( E ) векторного расслоения E характеризуется универсальным свойством, которое гласит: ^[2]

При заданном морфизме f : T → X факторизация f с помощью отображения проекции p : P ( E ) → X означает указание линейного подрасслоения f ^* E .

Например, взяв f равным p , мы получаем линейное подрасслоение O (-1) p ^* E , называемое тавтологическим линейным расслоением на P ( E ). Более того, это O (-1) является универсальным расслоением в том смысле, что когда линейное расслоение L дает факторизацию f = p ∘ g , L является обратным пуллом O (-1) вдоль g . См. также Cone# O (1) для более явной конструкции O (-1).

На P ( E ) существует естественная точная последовательность (называемая тавтологической точной последовательностью):

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} (E)}(-1)\to p^{*}E\to Q\to 0}$

где Q называется тавтологическим фактор-расслоением.

Пусть E ⊂ F — векторные расслоения (локально свободные пучки конечного ранга) на X и G = F / E . Пусть q : P ( F ) → X — проекция. Тогда естественное отображение O (-1) → q ^* F → q ^* G является глобальным сечением пучка hom Hom( O (-1), q ^* G) = q ^* G ⊗ O (1) . Более того, это естественное отображение обращается в нуль в точке, когда эта точка является прямой в E ; другими словами, нулевое множество этого сечения — это P ( E ).

Особенно полезным примером этой конструкции является случай, когда F является прямой суммой E ⊕ 1 E и тривиального линейного расслоения (т. е. структурного пучка). Тогда P ( E ) является гиперплоскостью в P ( E ⊕ 1), называемой гиперплоскостью на бесконечности, и дополнение P ( E ) может быть отождествлено с E . Таким образом, P ( E ⊕ 1) называется проективным пополнением (или «компактификацией») E .

Проективное расслоение P ( E ) устойчиво относительно скручивания E с помощью линейного расслоения; точнее, для данного линейного расслоения L имеется естественный изоморфизм:

${\displaystyle g:\mathbf {P} (E){\overset {\sim }{\to }}\mathbf {P} (E\otimes L)}$

такой, что ^{[3] (На самом деле,} g получается с помощью универсального свойства, примененного к линейному расслоению справа.) ${\displaystyle g^{*}({\mathcal {O}}(-1))\simeq {\mathcal {O}}(-1)\otimes p^{*}L.}$

Примеры

Многие нетривиальные примеры проективных расслоений можно найти, используя расслоения над такими, как расслоения Лефшеца. Например, эллиптическая поверхность K3 является поверхностью K3 с расслоением ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} ^{1}}$

так что волокна для являются генерически эллиптическими кривыми. Поскольку каждая эллиптическая кривая является кривой рода 1 с выделенной точкой, существует глобальное сечение расслоения. Благодаря этому глобальному сечению существует модель задания морфизма проективному расслоению ^[4] ${\displaystyle E_{p}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\to \mathbb {P} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6)\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})}$

определяется уравнением Вейерштрасса

${\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}$

где представляют собой локальные координаты , соответственно, и коэффициенты ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(4),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(6),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}}$

${\displaystyle a_{i}\in H^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(2i))}$

являются сечениями пучков на . Обратите внимание, что это уравнение хорошо определено, поскольку каждый член в уравнении Вейерштрасса имеет полную степень (то есть степень коэффициента плюс степень монома. Например, ). ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle {\text{deg}}(a_{1}xyz)=2+(4+6+0)=12}$

Кольцо когомологий и группа Чжоу

Пусть X — комплексное гладкое проективное многообразие, а E — комплексное векторное расслоение ранга r на нем. Пусть p : P ( E ) → X — проективное расслоение E . Тогда кольцо когомологий H ^* ( P ( E )) является алгеброй над H ^* ( X ) относительно обратного образа p ^* . Тогда первый класс Черна ζ = c ₁ ( O (1)) порождает H ^* ( P ( E )) с соотношением

${\displaystyle \zeta ^{r}+c_{1}(E)\zeta ^{r-1}+\cdots +c_{r}(E)=0}$

где c _i ( E ) — i -й класс Черна для E . Интересной особенностью этого описания является то, что можно определить классы Черна как коэффициенты в отношении; этот подход использовал Гротендик.

Над полями, отличными от комплексного поля, то же самое описание остается верным с кольцом Чжоу вместо кольца когомологий (все еще предполагая, что X является гладким). В частности, для групп Чжоу существует разложение прямой суммы

${\displaystyle A_{k}(\mathbf {P} (E))=\bigoplus _{i=0}^{r-1}\zeta ^{i}A_{k-r+1+i}(X).}$

Как оказалось, это разложение остается верным, даже если X не является гладким и проективным. ^[5] Напротив, A _k ( E ) = A _{k - r} ( X ), посредством гомоморфизма Гизина , морально, потому что слои E , векторные пространства, являются стягиваемыми.

Смотрите также

• Проект строительства
• конус (алгебраическая геометрия)
• линейчатая поверхность (пример проективного расслоения)
• сорт Севери–Брауэра
• Поверхность Хирцебруха

Ссылки

1. Хартсхорн 1977, Гл. II, Упражнение 7.10. (c).
2. Хартсхорн 1977, Гл. II, Предложение 7.12.
3. Хартсхорн 1977, Гл. II, Лемма 7.9.
4. Пропп, Орон Ю. (2019-05-22). «Построение явных спектров K3». arXiv : 1810.08953 [math.AT].
5. Фултон 1998, Теорема 3.3.

• Эленцвайг, Г.; Нарасимхан, MS (1983), «Проективные расслоения на комплексном торе», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1983 (340): 1–5, doi : 10.1515/crll.1983.340.1, ISSN  0075-4102, MR  0691957 , S2CID  122557310
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. Фолге. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157