Расстояние Гауэра

Мера расстояния в статистике

В статистике расстояние Гауэра между двумя объектами смешанного типа является мерой сходства , которая может обрабатывать различные типы данных в одном наборе данных и особенно полезна в кластерном анализе или других многомерных статистических методах. Данные могут быть бинарными, порядковыми или непрерывными переменными . Оно работает путем нормализации различий между каждой парой переменных и последующего вычисления средневзвешенного значения этих различий. Расстояние было определено в 1971 году Гауэром ^[1] и принимает значения от 0 до 1, причем меньшие значения указывают на большее сходство.

Определение

Для двух объектов , имеющих дескрипторы, сходство определяется как: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle S_{ij}={\frac {\sum _{k=1}^{p}w_{ijk}s_{ijk}}{\sum _{k=1}^{p}w_{ijk}}},}$$

где — неотрицательные веса, обычно установленные на ^[2] , а — сходство между двумя объектами относительно их -й переменной. Если переменная является бинарной или порядковой, значения равны 0 или 1, причем 1 обозначает равенство. Если переменная непрерывна, причем — диапазон -й переменной и, таким образом, обеспечивается . В результате общее сходство между двумя объектами — это средневзвешенное значение сходств, рассчитанных для всех их дескрипторов. ^[3] ${\displaystyle w_{ijk}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s_{ijk}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s_{ijk}}$ ${\displaystyle s_{ijk}=1-{\frac {|x_{i}-x_{j}|}{R_{k}}}}$ ${\displaystyle R_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\leq s_{ijk}\leq 1}$ ${\displaystyle S_{ij}}$

В своем первоначальном изложении расстояние не трактует порядковые переменные особым образом. В 1990-х годах сначала Кауфман и Руссеув ^[4], а затем Подани ^[5] предложили расширения, в которых используется упорядочение порядкового признака. Например, Подани получает относительные ранговые различия как с рангами, соответствующими упорядоченным категориям -й переменной. ${\displaystyle s_{ijk}=1-{\frac {|r_{i}-r_{j}|}{\max {\{r\}}-\min {\{r\}}}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$

Реализации программного обеспечения

Многие языки программирования и статистические пакеты, такие как R , Python и т. д., включают реализации расстояния Гауэра. Реализации могут следовать расширениям Кауфмана и Руссеу, которые изменяют сходство для непрерывных переменных на ^[6] ${\displaystyle s_{ijk}={\frac {|x_{i}-x_{j}|}{R_{k}}}}$

Ссылки

1. Gower, John C (1971). «Общий коэффициент сходства и некоторые его свойства». Biometrics . 27 (4): 857–871. doi :10.2307/2528823. JSTOR  2528823 . Получено 2024-06-03 .
2. Борг, Ингвер; Гроенен, Патрик Дж. Ф. (2005). Современное многомерное масштабирование: теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк [Гейдельберг]: Спрингер. стр. 124–125. ISBN 978-0387-25150-9.
3. Лежандр, Пьер; Лежандр, Луи (2012). Числовая экология (Третье английское изд.). Амстердам: Elsevier. С. 278–280. ISBN 978-0-444-53868-0.
4. Кауфман, Леонард; Руссью, Питер Дж. (1990). Поиск групп в данных: введение в кластерный анализ . Нью-Йорк: Wiley. С. 35–36. ISBN 9780471878766.
5. Подани, Янош (май 1999). «Распространение общего коэффициента сходства Гауэра на порядковые признаки». Таксон . 48 (2): 331–340. doi :10.2307/1224438. JSTOR  1224438.
6. D'Orazio, Marcello. "gower.dist {StatMatch}". Проект R для статистических вычислений . Получено 31 октября 2024 г.