Раздельное нормальное распределение

В теории вероятностей и статистике расщепленное нормальное распределение , также известное как двухчастное нормальное распределение, получается в результате соединения в моде соответствующих половин двух нормальных распределений с той же модой , но разными дисперсиями . Джонсон и др. ^[1] утверждают , что это распределение было введено Гиббонсом и Милрои ^[2] и Джоном. ^[3] Но это два из нескольких независимых переоткрытий Zweiseitige Gauss'sche Gesetz, введенных в посмертно опубликованном Kollektivmasslehre (1897) ^[4] Густава Теодора Фехнера (1801-1887), см. Wallis (2014). ^[5] Другое переоткрытие появилось совсем недавно в финансовом журнале. ^[6]

Определение

Расщепленное нормальное распределение возникает в результате слияния двух противоположных половин двух функций плотности вероятности (PDF) нормальных распределений в их общем режиме .

PDF нормального распределения расщепления определяется как ^[1]

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}\right)\quad {\text{if }}x<\mu }$

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma _{1},\sigma _{2})=A\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)\quad {\text{otherwise}}}$

где

${\displaystyle \quad A={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{1}+\sigma _{2})^{-1}.}$

Обсуждение

Разделенное нормальное распределение получается в результате слияния двух половин нормальных распределений. В общем случае «родительские» нормальные распределения могут иметь разные дисперсии, что подразумевает, что объединенная PDF не будет непрерывной . Чтобы гарантировать, что результирующая PDF интегрируется в 1, используется нормирующая константа A.

В частном случае, когда расщепленное нормальное распределение сводится к нормальному распределению с дисперсией . ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{*}^{2}}$

При σ ₂ ≠σ ₁ константа A отличается от константы нормального распределения. Однако, когда константы равны. ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{*}^{2}}$

Знак его третьего центрального момента определяется разностью (σ ₂ -σ ₁ ). Если эта разность положительна, распределение смещено вправо, а если отрицательна, то оно смещено влево.

Другие свойства расщепленной нормальной плотности обсуждались Джонсоном и др. ^[1] и Хулио ^{[7] .}

Альтернативные формулировки

Формулировка, обсуждаемая выше, исходит от Джона. ^[3] В литературе предлагаются две математически эквивалентные альтернативные параметризации. Бриттон, Фишер и Уитли ^[8] предлагают параметризацию, если термины моды, дисперсии и нормированной асимметрии обозначаются как . Параметр μ является модой и имеет эквивалент моды в формулировке Джона. Параметр σ ² >0 информирует о дисперсии (масштабе) и его не следует путать с дисперсией. Третий параметр, γ ∈ (-1,1), является нормированной асимметрией. ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\gamma )}$

Вторая альтернативная параметризация используется в сообщении Банка Англии и записывается в терминах моды, дисперсии и ненормированной асимметрии и обозначается как . В этой формулировке параметр μ является модой и идентичен формуле Джона ^[3] и Бриттона, Фишера и Уитли ^[8] . Параметр σ ² информирует о дисперсии (масштабе) и такой же, как в формулировке Бриттона, Фишера и Уитли. Параметр ξ равен разнице между средним значением распределения и модой и может рассматриваться как ненормированная мера асимметрии. ${\displaystyle {\mathcal {SN}}(\mu ,\,\sigma ^{2},\xi )}$

Три параметризации математически эквивалентны, что означает, что между параметрами существует строгая связь и что можно перейти от одной параметризации к другой. Имеют место следующие соотношения: ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\sigma _{1}^{2}(1+\gamma )=\sigma _{2}^{2}(1-\gamma )\\\gamma &={\frac {\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}+\sigma _{1}^{2}}}\\\xi &={\sqrt {2/\pi }}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\\\gamma &=\operatorname {sgn} (\xi ){\sqrt {1-\left({\frac {{\sqrt {1+2\beta }}-1}{\beta }}\right)^{2}}},\quad {\text{where}}\quad \beta ={\frac {\pi \xi ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Многомерные расширения

Многомерное обобщение расщепленного нормального распределения было предложено Виллани и Ларссоном. ^[10] Они предполагают, что каждый из главных компонентов имеет одномерное расщепленное нормальное распределение с различным набором параметров μ, σ ₂ и σ ₁ .

Оценка параметров

Джон ^[3] предлагает оценивать параметры с помощью метода максимального правдоподобия . Он показывает, что функция правдоподобия может быть выражена в интенсивной форме, в которой параметры масштаба σ ₁ и σ ₂ являются функцией параметра местоположения μ. Правдоподобие в интенсивной форме равно:

${\displaystyle L(\mu )=-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}-\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{1/3}}$

и должен быть максимизирован численно только по отношению к одному параметру μ.

При использовании оценки максимального правдоподобия остальные параметры принимают значения: ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}<\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {-L(\mu )}{N}}\left[\sum _{x_{i}:x_{i}>\mu }(x_{i}-\mu )^{2}\right]^{2/3},}$

где N — количество наблюдений.

Виллани и Ларссон ^[10] предлагают использовать либо метод максимального правдоподобия , либо байесовскую оценку и предоставляют некоторые аналитические результаты для одномерного и многомерного случая.

Приложения

Расщепленное нормальное распределение использовалось в основном в эконометрике и временных рядах. Замечательной областью применения является построение веерной диаграммы , представляющей распределение прогнозов инфляции, сообщаемое центральными банками, таргетирующими инфляцию, по всему миру. ^{[7] [11]}

Ссылки

1. Джонсон, Н. Л., Коц, С. и Балакришнан, Н. (1994). Непрерывные одномерные распределения, том 1. John Wiley & Sons. стр. 173. ISBN 978-0-471-58495-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Гиббонс, Дж. Ф.; Милрой, С. (1973). «Оценка профилей примесей в ионно-имплантированных аморфных мишенях с использованием объединенных полугауссовых распределений». Applied Physics Letters . 22 (11): 568–569. Bibcode : 1973ApPhL..22..568G. doi : 10.1063/1.1654511.
3. Джон, С. (1982). "Трехпараметрическое двухкомпонентное нормальное семейство распределений и его подгонка". Communications in Statistics - Theory and Methods . 11 (8): 879–885. doi :10.1080/03610928208828279.
4. Фехнер, Г. Т. (ред. Липпс, Г. Ф.) (1897). Kollectivmasslehre . Engelmann, Лейпциг.
5. Уоллис, К. Ф. (2014). Двухчастное нормальное, бинормальное или двойное гауссовское распределение: его происхождение и повторные открытия. Статистическая наука , т. 29, № 1, стр. 106-112. doi:10.1214/13-STS417.
6. de Roon, F. и Karehnke, P. (2016). Простое перекошенное распределение с приложениями ценообразования активов. Review of Finance , 2016, 1-29.
7. Juan Manuel Julio (2007). Веерная диаграмма: технические детали новой реализации. Banco de la República . Получено 2010-09-11 , прямая ссылка {{cite conference}}: Внешняя ссылка в |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
8. Бриттон, Э.; П. Фишер; Уитли, Дж. (1998). «Прогнозы инфляционного отчета: понимание веерной диаграммы». Ежеквартальный бюллетень . Февраль 1998: 30–37.
9. Банерджи, Н.; А. Дас (2011). Веерная диаграмма: методология и ее применение для прогнозирования инфляции в Индии . Серия рабочих документов Резервного банка Индии.
10. Villani, Mattias; Rolf Larsson (2006). "Многомерное расщепленное нормальное распределение и асимметричный анализ главных компонентов". Communications in Statistics - Theory and Methods . 35 (6): 1123–1140. CiteSeerX 10.1.1.533.4095 . doi :10.1080/03610920600672252. ISSN  0361-0926. S2CID  124959166. 
11. Банк Англии, Отчет об инфляции. Архивировано 13 августа 2010 г. на Wayback Machine.