Неопределенная ортогональная группа

Ортогональная группа неопределенной квадратичной формы

В математике неопределенная ортогональная группа O ( p , q ) — это группа Ли всех линейных преобразований n - мерного действительного векторного пространства , которые оставляют инвариантной невырожденную симметричную билинейную форму сигнатуры ( p , q ) , где n = p + q . Она также называется псевдоортогональной группой ^[1] или обобщенной ортогональной группой . ^[2] Размерность группы равна n ( n − 1)/ 2 .

Неопределенная специальная ортогональная группа SO ( p , q ) является подгруппой O ( p , q ), состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определенного случая, SO( p , q ) не является связной — она имеет 2 компонента — и есть две дополнительные подгруппы конечного индекса, а именно связная SO ⁺ ( p , q ) и O ⁺ ( p , q ) , которая имеет 2 компонента — см. § Топология для определения и обсуждения.

Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма ; замена p на q равнозначна замене метрики на ее отрицательную величину, и, таким образом, дает ту же самую группу. Если p или q равны нулю, то группа изоморфна обычной ортогональной группе O( n ). В дальнейшем мы предполагаем, что и p , и q положительны.

Группа O( p , q ) определена для векторных пространств над вещественными числами . Для комплексных пространств все группы O( p , q ; C ) изоморфны обычной ортогональной группе O( p + q ; C ) , поскольку преобразование изменяет сигнатуру формы. Это не следует путать с неопределенной унитарной группой U( p , q ) , которая сохраняет полуторалинейную форму сигнатуры ( p , q ) . ${\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j}}$

В четном измерении n = 2 p группа O( p , p ) известна как расщепляемая ортогональная группа.

Примеры

Отображения сжатия , здесь r = 3/2 , являются основными гиперболическими симметриями.

Базовым примером являются отображения сжатия , которые являются группой SO ⁺ (1, 1) (компонента тождества) линейных преобразований, сохраняющих единичную гиперболу . Конкретно, это матрицы , и их можно интерпретировать как гиперболические вращения, так же как группу SO(2) можно интерпретировать как круговые вращения. ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$

В физике группа Лоренца O(1,3) имеет центральное значение, являясь основой для электромагнетизма и специальной теории относительности . (В некоторых текстах для группы Лоренца используется обозначение O(3,1) ; однако в квантовой теории поля преобладает O(1,3) , поскольку геометрические свойства уравнения Дирака более естественны в O(1,3) .)

Определение матрицы

Можно определить O( p , q ) как группу матриц , как и для классической ортогональной группы O( n ). Рассмотрим диагональную матрицу, заданную как ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$

Тогда мы можем определить симметричную билинейную форму на по формуле ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}$,

где — стандартный внутренний продукт на . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

Затем мы определяем как группу матриц, которые сохраняют эту билинейную форму: ^[3] ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}$.

Более конкретно, состоит из матриц, таких что ^[4] ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle gA^{\mathrm {tr} }g=A^{-1}}$,

где транспонировано . ​​ ${\displaystyle A^{\mathrm {tr} }}$ ${\displaystyle A}$

Изоморфную группу (фактически, сопряженную подгруппу GL( p + q ) ) можно получить, заменив g любой симметричной матрицей с p положительными собственными значениями и q отрицательными. Диагонализация этой матрицы дает сопряжение этой группы со стандартной группой O( p , q ) .

Подгруппы

Группа SO ⁺ ( p , q ) и связанные с ней подгруппы O( p , q ) могут быть описаны алгебраически. Разобьем матрицу L в O( p , q ) как блочную матрицу :

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

где A , B , C , и D являются блоками p × p , p × q , q × p , и q × q соответственно. Можно показать, что множество матриц в O( p , q ) , чей верхний левый блок p × p A имеет положительный определитель, является подгруппой. Или, говоря другими словами, если

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\;\mathrm {and} \;M={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}}$

находятся в O( p , q ) , тогда

${\displaystyle (\operatorname {sgn} \det A)(\operatorname {sgn} \det W)=\operatorname {sgn} \det(AW+BY).}$

Аналогичный результат для нижнего правого блока q × q также имеет место. Подгруппа SO ⁺ ( p , q ) состоит из матриц L таких, что det A и det D оба положительны. ^{[5] [6]}

Для всех матриц L из O( p , q ) определители A и D обладают тем свойством, что и что ^[7] В частности, подгруппа SO( p , q ) состоит из матриц L таких, что det A и det D имеют одинаковый знак. ^[5] ${\textstyle {\frac {\det A}{\det D}}=\det L}$ ${\displaystyle |{\det A}|=|{\det D}|\geq 1.}$

Топология

Предполагая, что и p , и q положительны, ни одна из групп O( p , q ) и SO( p , q ) не являются связными , имея четыре и две компоненты соответственно. π ₀ (O( p , q )) ≅ C ₂ × C ₂ является четверной группой Клейна , где каждый фактор является тем, сохраняет ли элемент или меняет соответствующие ориентации на p и q мерных подпространствах, на которых форма определена; обратите внимание, что изменение ориентации только на одном из этих подпространств меняет ориентацию на всем пространстве. Специальная ортогональная группа имеет компоненты π ₀ (SO( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) }, каждая из которых либо сохраняет обе ориентации, либо меняет обе ориентации, в любом случае сохраняя общую ориентацию. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Компонент идентичности O ( p , q ) часто обозначается SO ⁺ ( p , q ) и может быть отождествлен с набором элементов в SO( p , q ), которые сохраняют обе ориентации. Эта нотация связана с нотацией O ⁺ (1, 3) для ортохронной группы Лоренца , где + относится к сохранению ориентации в первом (временном) измерении.

Группа O( p , q ) также не является компактной , но содержит компактные подгруппы O( p ) и O( q ), действующие на подпространствах, на которых форма определена. Фактически, O( p ) × O( q ) является максимальной компактной подгруппой O ( p , q ) , в то время как S(O( p ) × O( q )) является максимальной компактной подгруппой SO( p , q ) . Аналогично, SO( p ) × SO( q ) является максимальной компактной подгруппой SO ⁺ ( p , q ) . Таким образом, пространства гомотопически эквивалентны произведениям (специальных) ортогональных групп, из которых можно вычислить алгебро-топологические инварианты. (См. Максимальная компактная подгруппа .)

В частности, фундаментальная группа SO + ⁽ p , q ) является произведением фундаментальных групп компонентов, π ₁ (SO ⁺ ( p , q )) = π ₁ (SO( p )) × π ₁ (SO( q )) и задается формулой:

Разделенная ортогональная группа

В четных измерениях средняя группа O( n , n ) известна как расщепленная ортогональная группа и представляет особый интерес, поскольку она встречается как группа преобразований T-дуальности в теории струн, например. Это расщепленная группа Ли, соответствующая комплексной алгебре Ли so _{2 n} (группа Ли расщепленной вещественной формы алгебры Ли); точнее, компонент тождества является расщепленной группой Ли, поскольку нетождественные компоненты не могут быть восстановлены из алгебры Ли. В этом смысле она противоположна определенной ортогональной группе O( n ) := O( n , 0) = O(0, n ) , которая является компактной вещественной формой комплексной алгебры Ли.

Группу SO(1, 1) можно отождествить с группой единичных расщепленных комплексных чисел .

С точки зрения того, что они являются группами типа Ли , т. е. построения алгебраической группы из алгебры Ли, расщепляемые ортогональные группы являются группами Шевалле , в то время как нерасщепляемые ортогональные группы требуют немного более сложной конструкции и являются группами Стейнберга .

Расщепляемые ортогональные группы используются для построения обобщенного многообразия флагов над неалгебраически замкнутыми полями.

Смотрите также

• Ортогональная группа
• группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Симметричная билинейная форма

Ссылки

1. Попов 2001
2. Холл 2015, стр. 8, Раздел 1.2
3. Холл 2015 Раздел 1.2.3
4. Холл 2015 Глава 1, Упражнение 1
5. Lester, JA (1993). "Ортохронные подгруппы O(p,q)". Линейная и полилинейная алгебра . 36 (2): 111–113. doi :10.1080/03081089308818280. Zbl  0799.20041.
6. Широков 2012, стр. 88–96, раздел 7.1.
7. Широков 2012, стр. 89–91, Леммы 7.1 и 7.2.

Источники

• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Энтони Кнапп , Группы Ли за пределами введения , второе издание, Progress in Mathematics, т. 140, Birkhäuser, Бостон, 2002. ISBN 0-8176-4259-5 – см. стр. 372 для описания неопределенной ортогональной группы 
• Попов, В.Л. (2001) [1994], "Ортогональная группа", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Широков, Д.С. (2012). Лекции по алгебрам и спинорам Клиффорда Лекции по алгебрам клиффорда и спинорам (PDF) (на русском языке). дои : 10.4213/book1373. Збл  1291.15063.
• Джозеф А. Вольф , Пространства постоянной кривизны , (1967) стр. 335.