Рациональный ряд дзета

В математике рациональный дзета-ряд — это представление произвольного действительного числа в виде ряда, состоящего из рациональных чисел и дзета-функции Римана или дзета-функции Гурвица . В частности, для данного действительного числа x рациональный дзета-ряд для x задается как

${\displaystyle x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\zeta (n,m)}$

где каждое q _n — рациональное число, значение m фиксировано, а ζ( s ,  m ) — дзета-функция Гурвица. Нетрудно показать, что любое действительное число x можно разложить таким образом.

Элементарная серия

Для целого числа m>1 имеем

${\displaystyle x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\left[\zeta (n)-\sum _{k=1}^{m-1}k^{-n}\right]}$

При m=2 ряд интересных чисел имеет простое выражение в виде рационального дзета-ряда:

${\displaystyle 1=\sum _{n=2}^{\infty }\left[\zeta (n)-1\right]}$

и

${\displaystyle 1-\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]}$

где γ — константа Эйлера–Маскерони . Ряд

${\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (2n)-1\right]}$

следует суммированием распределения Гаусса–Кузьмина . Существуют также ряды для π:

${\displaystyle \log \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]}$

и

${\displaystyle {\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{2n}}}\left[\zeta (2n)-1\right]}$

будучи примечательным из-за его быстрой сходимости. Этот последний ряд следует из общего тождества

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}t^{2n}\left[\zeta (2n)-1\right]={\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}+{\frac {1-\pi t}{2}}-{\frac {\pi t}{e^{2\pi t}-1}}}$

что в свою очередь следует из производящей функции для чисел Бернулли

${\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}}$

Адамчик и Шривастава дают похожую серию

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{n}}\zeta (2n)=\log \left({\frac {\pi t}{\sin(\pi t)}}\right)}$

Серия, связанная с полигаммой

Из ряда Тейлора для полигамма-функции при z = 1 можно вывести ряд дополнительных соотношений  , которые имеют вид

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}}$.

Вышеприведенное сходится при | z | < 1. Особым случаем является

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }t^{n}\left[\zeta (n)-1\right]=-t\left[\gamma +\psi (1-t)-{\frac {t}{1-t}}\right]}$

что справедливо для | t | < 2. Здесь ψ — дигамма-функция , а ψ ^{( m )} — полигамма-функция. Можно вывести множество рядов, включающих биномиальный коэффициент :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)}$

где ν — комплексное число. Вышеизложенное следует из разложения в ряд для дзета Гурвица

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)}$

взятый при y  = −1. Аналогичные ряды могут быть получены с помощью простой алгебры:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1}$

и

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)}}$

и

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+2}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }}$

и

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}}$

Для целых n  ≥ 0 ряд

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

можно записать как конечную сумму

${\displaystyle S_{n}=(-1)^{n}\left[1+\sum _{k=1}^{n}\zeta (k+1)\right]}$

Вышеизложенное следует из простого рекурсивного соотношения S _n  +  S _{n  + 1}  = ζ( n  + 2). Далее, ряд

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n-1 \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

может быть записано как

${\displaystyle T_{n}=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta (2)+\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}(n-k)\zeta (k+1)\right]}$

для целого числа n  ≥ 1. Вышеизложенное следует из тождества T _n  +  T _{n  + 1}  =  S _n . Этот процесс может быть применен рекурсивно для получения конечных рядов для общих выражений вида

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+n-m \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

для положительных целых чисел m .

Полуцелый степенной ряд

Аналогичные ряды можно получить, исследуя дзета-функцию Гурвица при полуцелых значениях. Так, например, можно получить

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (k+n+2)-1}{2^{k}}}{{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\left(\zeta (n+2)-1\right)-1}$

Выражения в виде p-рядов

Адамчик и Шривастава дают

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=1\,+\sum _{k=1}^{m}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)}$

и

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=-1\,+\,{\frac {1-2^{m+1}}{m+1}}B_{m+1}\,-\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)}$

где — числа Бернулли , а — числа Стерлинга второго рода . ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle S(m,k)}$

Другие серии

Другие константы, имеющие примечательные рациональные дзета-ряды:

• постоянная Хинчина
• постоянная Апери

Ссылки

• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF) . J. Comput. Appl. Math . 121 (1–2): 247–296. Bibcode :2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Виктор С. Адамчик и Его Величество Шривастава (1998). «Некоторые серии дзета и связанных с ними функций» (PDF) . Анализ . 18 (2): 131–144. CiteSeerX  10.1.1.127.9800 . doi : 10.1524/anly.1998.18.2.131. S2CID  11370668.