Регулярная полугруппа

В математике регулярная полугруппа — это полугруппа S , в которой каждый элемент является регулярным , т. е. для каждого элемента a из S существует элемент x из S, такой что axa = a . ^[1] Регулярные полугруппы являются одним из наиболее изученных классов полугрупп, и их структура особенно поддается изучению с помощью соотношений Грина . ^[2]

История

Регулярные полугруппы были введены Дж. А. Грином в его влиятельной статье 1951 года «О структуре полугрупп»; в этой же статье были введены соотношения Грина . Понятие регулярности в полугруппе было адаптировано из аналогичного условия для колец , уже рассмотренного Джоном фон Нейманом . ^[3] Именно изучение Грином регулярных полугрупп привело его к определению его знаменитых соотношений . Согласно сноске в Green 1951, предложение о том, что понятие регулярности может быть применено к полугруппам, было впервые сделано Дэвидом Рисом .

Термин инверсная полугруппа (фр. demi-groupe inversif) исторически использовался как синоним в работах Габриэля Тьеррена (ученика Поля Дюбрейля ) в 1950-х годах ^{[4] [5]} и до сих пор иногда используется. ^[6]

Основы

Существует два эквивалентных способа определения регулярной полугруппы S :

(1) для каждого a в S существует x в S , который называется псевдообратным , ^[7] с axa = a ;

(2) каждый элемент a имеет по крайней мере один обратный b , в том смысле, что aba = a и bab = b .

Чтобы увидеть эквивалентность этих определений, сначала предположим, что S определяется по (2). Тогда b служит требуемым x в (1). Наоборот, если S определяется по (1), то xax является обратным для a , поскольку a ( xax ) a = axa ( xa ) = axa = a и ( xax ) a ( xax ) = x ( axa )( xax ) = xa ( xax ) = x ( axa ) x = xax . ^[8]

Множество обратных (в указанном выше смысле) элементов a в произвольной полугруппе S обозначается V ( a ). ^[9] Таким образом, другой способ выразить определение (2) выше — сказать, что в регулярной полугруппе V ( a ) непусто для любого a из S . Произведение любого элемента a с любым b из V ( a ) всегда идемпотентно : abab = ab , поскольку aba = a . ^[10]

Примеры регулярных полугрупп

• Каждая группа является регулярной полугруппой.
• Каждая связка (идемпотентная полугруппа) является регулярной в смысле данной статьи, хотя это не то, что подразумевается под регулярной связкой .
• Бициклическая полугруппа регулярна.
• Любая полная полугруппа преобразований регулярна.
• Полугруппа матриц Риса регулярна.
• Гомоморфный образ регулярной полугруппы является регулярным. ^[11]

Уникальные обратные и уникальные псевдообратные

Регулярная полугруппа, в которой идемпотенты коммутируют (с идемпотентами), является инверсной полугруппой , или, что эквивалентно, каждый элемент имеет единственный инверсный элемент. Чтобы увидеть это, пусть S будет регулярной полугруппой, в которой идемпотенты коммутируют. Тогда каждый элемент из S имеет по крайней мере один обратный элемент. Предположим, что a в S имеет два обратных элемента b и c , т.е.

aba = a , bab = b , aca = a и cac = c . Также ab , ba , ac и ca являются идемпотентами, как и выше.

Затем

б = bab = b ( aca ) b = bac ( a ) b = bac ( aca ) b = bac ( ac )( ab ) = bac ( ab )( ac ) = ba ( ca ) bac = ca ( ba ) bac = c ( аба ) bac = cabac = cac = c .

Итак, коммутируя пары идемпотентов ab & ac и ba & ca , показано, что обратная полугруппа a является единственной. Обратно, можно показать, что любая обратная полугруппа является регулярной полугруппой, в которой идемпотенты коммутируют. ^[12]

Существование уникального псевдообратного элемента подразумевает существование уникального обратного элемента, но обратное неверно. Например, в симметричной обратной полугруппе пустое преобразование Ø не имеет уникального псевдообратного элемента, поскольку Ø = Ø f Ø для любого преобразования f . Однако обратное к Ø является уникальным, поскольку только один f удовлетворяет дополнительному ограничению, что f = f Ø f , а именно f = Ø. Это замечание справедливо в более общем случае в любой полугруппе с нулем. Более того, если каждый элемент имеет уникальный псевдообратный элемент, то полугруппа является группой , а уникальный псевдообратный элемент совпадает с групповым обратным элементом.

отношения Грина

Напомним, что главные идеалы полугруппы S определяются в терминах S ¹ , полугруппы с присоединенной единицей ; это делается для того, чтобы гарантировать, что элемент a принадлежит главным правым, левым и двусторонним идеалам , которые он порождает. Однако в регулярной полугруппе S элемент a = axa автоматически принадлежит этим идеалам, без необходимости присоединения единицы. Поэтому соотношения Грина можно переопределить для регулярных полугрупп следующим образом:

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$тогда и только тогда, когда Sa = Sb ;

${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}$тогда и только тогда, когда aS = bS ;

${\displaystyle a\,{\mathcal {J}}\,b}$тогда и только тогда, когда SaS = SbS . ^[13]

В регулярной полугруппе S каждый - и -класс содержит по крайней мере один идемпотент . Если a - любой элемент из S и a ′ - любой обратный для a , то a -связан с a ′ a и -связан с aa ′ . ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Теорема. Пусть S — регулярная полугруппа; пусть a и b — элементы S , и пусть V(x) обозначает множество обратных элементов x в S. Тогда

• ${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b}$тогда и только тогда, когда существуют a ′ в V ( a ) и b ′ в V ( b ) такие, что a ′ a = b ′ b ;
• ${\displaystyle a\,{\mathcal {R}}\,b}$тогда и только тогда существуют a ′ в V ( a ) и b ′ в V ( b ) такие, что aa ′ = bb ′ ,
• ${\displaystyle a\,{\mathcal {H}}\,b}$тогда и только тогда существуют a ′ в V ( a ) и b ′ в V ( b ) такие, что a ′ a = b ′ b и aa ′ = bb ′ . ^[15]

Если S — инверсная полугруппа , то идемпотент в каждом - и -классе единственен. ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Специальные классы регулярных полугрупп

Некоторые специальные классы регулярных полугрупп: ^[16]

• Локально инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S является локально инверсной, если eSe является инверсной полугруппой для каждого идемпотента e .
• Ортодоксальные полугруппы : регулярная полугруппа S является ортодоксальной , если ее подмножество идемпотентов образует подполугруппу.
• Обобщенные инверсные полугруппы : регулярная полугруппа S называется обобщенной инверсной полугруппой , если ее идемпотенты образуют нормальную связку, т. е. xyzx = xzyx для всех идемпотентов x , y , z .

Класс обобщенно -инверсных полугрупп является пересечением класса локально-инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп. ^[17]

Все инверсные полугруппы являются ортодоксальными и локально инверсными. Обратные утверждения не верны.

Обобщения

• в конечном итоге регулярная полугруппа
• E -плотная (она же E -инверсивная) полугруппа

Смотрите также

• Биоупорядоченное множество
• Специальные классы полугрупп
• заказ Намбурипада
• Обобщенная обратная

Ссылки

1. Хауи 1995 стр. 54
2. Хауи 2002.
3. фон Нейман 1936.
4. Кристофер Холлингс (16 июля 2014 г.). Математика через железный занавес: история алгебраической теории полугрупп. Американское математическое общество. стр. 181. ISBN 978-1-4704-1493-1.
5. "Публикации". www.csd.uwo.ca . Архивировано из оригинала 1999-11-04.
6. Джонатан С. Голан (1999). Алгебры мощности над полукольцами: с приложениями в математике и информатике. Springer Science & Business Media. стр. 104. ISBN 978-0-7923-5834-3.
7. Клип, Кнауэр и Михалев: с. 33
8. Клиффорд и Престон 2010 Лемма 1.14.
9. Хауи 1995 стр. 52
10. Клиффорд и Престон 2010 стр. 26
11. Хауи 1995 Лемма 2.4.4
12. Howie 1995 Теорема 5.1.1
13. Хауи 1995 стр. 55
14. Клиффорд и Престон 2010 Лемма 1.13
15. Хауи 1995 Предложение 2.4.1
16. Хауи 1995 гл. 6, § 2.4
17. Хауи 1995 стр. 222

Источники

• Клиффорд, Альфред Хоблицелле ; Престон, Гордон Бэмфорд (2010) [1967]. Алгебраическая теория полугрупп. Том 2. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Хауи, Джон Макинтош (1995). Основы теории полугрупп (1-е изд.). Clarendon Press . ISBN 978-0-19-851194-6.
• М. Килп, У. Кнауэр, А. В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000, ISBN 3-11-015248-7 . 
• JA Green (1951). «О структуре полугрупп». Annals of Mathematics . Вторая серия. 54 (1): 163–172. doi :10.2307/1969317. hdl : 10338.dmlcz/100067 . JSTOR  1969317.
• Дж. М. Хауи, Полугруппы, прошлое, настоящее и будущее, Труды Международной конференции по алгебре и ее приложениям , 2002, 6–20.
• Дж. фон Нейман (1936). «О регулярных кольцах». Труды Национальной академии наук США . 22 (12): 707–713. Bibcode :1936PNAS...22..707V. doi : 10.1073/pnas.22.12.707 . PMC  1076849 . PMID  16577757.