Регулярный местный звонок

В коммутативной алгебре регулярное локальное кольцо — это нётерово локальное кольцо, обладающее тем свойством, что минимальное число образующих его максимального идеала равно его размерности Крулля . ^[1] В символах пусть A — любое нётерово локальное кольцо с единственным максимальным идеалом m, и предположим, что a ₁ , ..., a _n — минимальный набор образующих m. Тогда из теоремы Крулля о главном идеале следует, что n ≥ dim A , и A регулярно, если n = dim A .

Концепция мотивирована ее геометрическим смыслом. Точка x на алгебраическом многообразии X является неособой ( гладкой точкой ) тогда и только тогда, когда локальное кольцо ростков в x является регулярным. (См. также: регулярная схема .) Регулярные локальные кольца не связаны с регулярными кольцами фон Неймана . ^[a] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Для нётеровых локальных колец имеет место следующая цепочка включений:

Универсально цепные кольца ⊃ Кольца Коэна–Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ Кольца полного пересечения ⊃ Регулярные локальные кольца

Характеристика

Существует ряд полезных определений регулярного локального кольца, одно из которых упомянуто выше. В частности, если — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом , то следующие определения являются эквивалентными: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

• Пусть где выбрано как можно меньше. Тогда является регулярным, если ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim A=n\,}$,

где размерность — это размерность Крулла. Минимальный набор генераторов тогда называется регулярной системой параметров . ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

• Пусть — поле вычетов . Тогда является регулярным, если ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,}$,

где второе измерение — это измерение Крулла .

• Пусть - глобальная размерность ( т.е. супремум проективных размерностей всех -модулей). Тогда является регулярным, если ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A:=\sup\{\operatorname {pd} M\mid M{\text{ is an }}A{\text{-module}}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A<\infty \,}$,

в этом случае, . ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A=\dim A}$

Критерий кратности один утверждает: ^[2] если пополнение нётерова локального кольца A является несмешанным (в том смысле, что не существует вложенного простого делителя нулевого идеала и для каждого минимального простого числа p , ) и если кратность A равна единице, то A является регулярным. (Обратное всегда верно: кратность регулярного локального кольца равна единице.) Этот критерий соответствует геометрической интуиции в алгебраической геометрии, что локальное кольцо пересечения является регулярным тогда и только тогда, когда пересечение является трансверсальным пересечением . ${\displaystyle \dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}}$

В случае положительной характеристики имеется следующий важный результат, полученный Кунцем: нётерово локальное кольцо положительной характеристики p является регулярным тогда и только тогда, когда морфизм Фробениуса плоский и приведенный . В нулевой характеристике аналогичный результат неизвестен (неясно, как следует заменить морфизм Фробениуса ) . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\to R,r\mapsto r^{p}}$ ${\displaystyle R}$

Примеры

1. Каждое поле является регулярным локальным кольцом. Они имеют (Крулл) размерность 0. Фактически, поля являются в точности регулярными локальными кольцами размерности 0.
2. Любое кольцо дискретного нормирования является регулярным локальным кольцом размерности 1, а регулярные локальные кольца размерности 1 являются в точности кольцами дискретного нормирования. В частности, если k — поле, а X — неопределенность, то кольцо формальных степенных рядов k [[ X ]] является регулярным локальным кольцом, имеющим (Круллевскую) размерность 1.
3. Если p — обычное простое число, то кольцо p-адических целых чисел является примером кольца дискретного нормирования и, следовательно, регулярного локального кольца, не содержащего поля.
4. В более общем случае, если k — поле и X ₁ , X ₂ , ..., X _d — неопределенности, то кольцо формальных степенных рядов k [[ X ₁ , X ₂ , ..., X _d ]] является регулярным локальным кольцом, имеющим размерность (Крулля) d .
5. Если A — регулярное локальное кольцо, то отсюда следует, что формальное степенное кольцо A [[ x ]] является регулярным локально.
6. Если Z — кольцо целых чисел, а X — неопределенность, то кольцо Z [ X ] _{(2, X )} (т. е. кольцо Z [ X ], локализованное в простом идеале (2, X ) ) является примером 2-мерного регулярного локального кольца, не содержащего поля.
7. По структурной теореме Ирвина Коэна полное регулярное локальное кольцо размерности Крулля d , содержащее поле k, является кольцом степенных рядов от d переменных над полем расширения поля k .

Не примеры

Кольцо не является регулярным локальным кольцом, поскольку оно конечномерно, но не имеет конечной глобальной размерности. Например, существует бесконечное разрешение ${\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0}$

Используя еще одну из характеристик, имеет ровно один простой идеал , поэтому кольцо имеет размерность Крулля , но является нулевым идеалом, поэтому имеет размерность по крайней мере . (На самом деле он равен , поскольку является базисом.) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x+{\mathfrak {m}}}$

Основные свойства

Теорема Ауслендера –Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо является уникальной областью факторизации .

Всякая локализация , а также пополнение регулярного локального кольца являются регулярными.

Если — полное регулярное локальное кольцо, содержащее поле, то ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$,

где — поле вычетов , а — размерность Крулля. ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle d=\dim A}$

См. также: Неравенство Серра относительно высоты и Гипотезы Серра о множественности .

Происхождение основных понятий

Регулярные локальные кольца были первоначально определены Вольфгангом Круллем в 1937 году ^[3], но впервые они стали заметны в работе Оскара Зарисского несколько лет спустя ^{[4] [5],} который показал, что геометрически регулярное локальное кольцо соответствует гладкой точке на алгебраическом многообразии . Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в аффинном n -пространстве над совершенным полем , и предположим, что Y — исчезающее множество многочленов f ₁ ,..., f _m . Y невырождено в точке P , если Y удовлетворяет условию Якоби : если M = (∂ f _i /∂ x _j ) — матрица частных производных определяющих уравнений многообразия, то ранг матрицы, найденной путем вычисления M в точке P, равен n − dim Y . Зарисский доказал, что Y невырождено в точке P тогда и только тогда, когда локальное кольцо Y в точке P регулярно. (Зарисский заметил, что это может не сработать для несовершенных полей.) Это подразумевает, что гладкость является внутренним свойством многообразия, другими словами, она не зависит от того, где или как многообразие вложено в аффинное пространство. Это также предполагает, что регулярные локальные кольца должны иметь хорошие свойства, но до введения методов из гомологической алгебры в этом направлении было известно очень мало. После того, как такие методы были введены в 1950-х годах, Ауслендер и Буксбаум доказали, что каждое регулярное локальное кольцо является уникальной областью факторизации .

Другое свойство, предложенное геометрической интуицией, состоит в том, что локализация регулярного локального кольца снова должна быть регулярной. Опять же, это оставалось нерешенным до введения гомологических методов. Именно Жан-Пьер Серр нашел гомологическую характеристику регулярных локальных колец: локальное кольцо A является регулярным тогда и только тогда, когда A имеет конечную глобальную размерность , т. е. если каждый A -модуль имеет проективную резольвенту конечной длины. Легко показать, что свойство иметь конечную глобальную размерность сохраняется при локализации, и, следовательно, что локализации регулярных локальных колец в простых идеалах снова являются регулярными.

Это оправдывает определение регулярности для нелокальных коммутативных колец, данное в следующем разделе.

Обычное кольцо

В коммутативной алгебре регулярное кольцо — это коммутативное нётерово кольцо , такое, что локализация в каждом простом идеале является регулярным локальным кольцом: то есть каждая такая локализация обладает тем свойством, что минимальное число образующих её максимального идеала равно его размерности Крулля .

Происхождение термина «регулярное кольцо» заключается в том факте, что аффинное многообразие является неособым (то есть каждая его точка является регулярной ) тогда и только тогда, когда его кольцо регулярных функций является регулярным.

Для регулярных колец размерность Крулля совпадает с глобальной гомологической размерностью .

Жан-Пьер Серр определил регулярное кольцо как коммутативное нётерово кольцо конечной глобальной гомологической размерности. Его определение сильнее определения выше, которое допускает регулярные кольца бесконечной размерности Крулля.

Примерами регулярных колец являются поля (размерности ноль) и дедекиндовы области . Если A регулярно, то и A [ X ] также регулярен, причем размерность на единицу больше, чем у A .

В частности, если k — поле, кольцо целых чисел или область главных идеалов , то кольцо многочленов регулярно. В случае поля это теорема Гильберта о сизигиях . ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

Любая локализация регулярного кольца также является регулярной.

Регулярное кольцо является редуцированным ^[b], но не обязательно должно быть областью целостности. Например, произведение двух регулярных областей целостности является регулярной, но не областью целостности. ^[6]

Смотрите также

• Геометрически правильное кольцо
• квазисвободное кольцо

Примечания

1. Локальное регулярное кольцо фон Неймана является телом, поэтому эти два условия не очень совместимы.
2. поскольку кольцо является приведенным тогда и только тогда, когда его локализации в простых идеалах являются приведенными.

Цитаты

1. Атья и Макдональд 1969, стр. 123, теорема 11.22.
2. Herrmann, M., S. Ikeda, and U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. Алгебраическое исследование с приложением Б. Мунена. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Теорема 6.8.
3. Крулл, Вольфганг (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. З. , 42 : 745–766, дои : 10.1007/BF01160110
4. Зариски, Оскар (1940), «Алгебраические многообразия над основными полями характеристики 0», Amer. J. Math. , 62 : 187–221, doi : 10.2307/2371447, JSTOR  2371447
5. Зариски, Оскар (1947), «Концепция простой точки абстрактного алгебраического многообразия», Trans. Amer. Math. Soc. , 62 : 1–52, doi : 10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1
6. Является ли регулярное кольцо доменом?

Ссылки

• Атья, Майкл Ф.; Макдональд , Ян Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley , MR  0242802
• Кунц, Характеристика регулярных локальных колец характеристики стр. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
• Цит-Юэн Лам , Лекции по модулям и кольцам , Springer-Verlag , 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8 . Гл.5.G. 
• Жан-Пьер Серр , Локальная алгебра , Springer-Verlag , 2000, ISBN 3-540-66641-9 . Глава.IV.D. 
• Регулярные кольца в The Stacks Project