В коммутативной алгебре G-кольцо или кольцо Гротендика — это нётерово кольцо , такое что отображение любого из его локальных колец в пополнение является регулярным (определено ниже). Почти все нётеровы кольца, которые естественным образом встречаются в алгебраической геометрии или теории чисел, являются G-кольцами, и довольно сложно построить примеры нётеровых колец, которые не являются G-кольцами. Это понятие названо в честь Александра Гротендика .
Кольцо, которое является одновременно G-кольцом и J-2-кольцом, называется квазипревосходным кольцом , а если оно к тому же универсально цепное, то оно называется превосходным кольцом .
Определения
- (Нётерово) кольцо R, содержащее поле k, называется геометрически регулярным над k, если для любого конечного расширения K поля k кольцо R ⊗ k K является регулярным кольцом .
- Гомоморфизм колец из R в S называется регулярным , если он плоский и для любого p ∈ Spec( R ) слой S ⊗ R k ( p ) геометрически регулярен над полем вычетов k ( p ) кольца p . (см. также теорему Попеску .)
- Кольцо называется локальным G-кольцом, если оно является нётеровым локальным кольцом и отображение в его пополнение (относительно его максимального идеала ) является регулярным.
- Кольцо называется G-кольцом, если оно нётерово и все его локализации в простых идеалах являются локальными G-кольцами. (Достаточно проверить это только для максимальных идеалов, так что, в частности, локальные G-кольца являются G-кольцами.)
Примеры
- Каждое поле — это кольцо G.
- Каждое полное нётерово локальное кольцо является G-кольцом.
- Каждое кольцо сходящихся степенных рядов от конечного числа переменных над R или C является G-кольцом.
- Каждая дедекиндова область в характеристике 0, и в частности кольцо целых чисел , является G-кольцом, но в положительной характеристике существуют дедекиндовы области (и даже кольца дискретного нормирования ), которые не являются G-кольцами.
- Каждая локализация G-кольца является G-кольцом.
- Любая конечно порождённая алгебра над G-кольцом является G-кольцом. Это теорема Гротендика.
Вот пример кольца дискретного нормирования A характеристики p >0, которое не является G-кольцом. Если k — любое поле характеристики p с [ k : k p ] = ∞ и R = k [[ x ]], а A — подкольцо степенных рядов Σ a i x i такое, что [ k p ( a 0 , a 1 ,...) : k p ] конечно, то формальное волокно A над общей точкой не является геометрически регулярным, поэтому A не является G-кольцом. Здесь k p обозначает образ k при морфизме Фробениуса a → a p .
Ссылки
- А. Гротендик, Ж. Дьедонне, Элементы алгебраической геометрии IV Publ. Математика. IHÉS 24 (1965), раздел 7
- Х. Мацумура, Коммутативная алгебра ISBN 0-8053-7026-9 , глава 13.
