Обычный кардинал

Тип количественного числительного в математике

В теории множеств регулярный кардинал — это кардинальное число , равное своей собственной конфинальности . Более конкретно, это означает, что является регулярным кардиналом тогда и только тогда, когда каждое неограниченное подмножество имеет мощность . Бесконечные вполне упорядоченные кардиналы, которые не являются регулярными, называются сингулярными кардиналами . Конечные кардинальные числа обычно не называются регулярными или сингулярными. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

При наличии аксиомы выбора любое кардинальное число может быть вполне упорядочено, и тогда следующие условия эквивалентны для кардинального числа : ${\displaystyle \kappa }$

1. ${\displaystyle \kappa }$является обычным кардиналом.
2. Если и для всех , то . ${\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |I|\geq \kappa }$
3. Если , и если и для всех , то . ${\displaystyle S=\bigcup _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle |I|<\kappa }$ ${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |S|<\kappa }$
4. Категория множеств мощности, меньшей , и всех функций между ними замкнута относительно копределов мощности, меньшей . ${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
5. ${\displaystyle \kappa }$является регулярным ординалом (см. ниже)

Грубо говоря, это означает, что правильный кардинал — это тот, который нельзя разбить на небольшое количество более мелких частей.

Ситуация немного сложнее в контекстах, где аксиома выбора может не сработать, так как в этом случае не все кардиналы обязательно являются мощностями хорошо упорядоченных множеств. В этом случае указанная выше эквивалентность справедлива только для хорошо упорядочиваемых кардиналов.

Бесконечный ординал является регулярным ординалом , если он является предельным ординалом , который не является пределом набора меньших ординалов, которые как набор имеют тип порядка меньше . Регулярный ординал всегда является начальным ординалом , хотя некоторые начальные ординалы не являются регулярными, например, (см. пример ниже). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$

Примеры

Ординалы, меньшие , конечны. Конечная последовательность конечных ординалов всегда имеет конечный максимум, поэтому не может быть пределом любой последовательности типа меньше , элементы которой являются ординалами, меньшими , и, следовательно, является регулярным ординалом. ( aleph-null ) является регулярным кардиналом, поскольку его начальный ординал , является регулярным. Его также можно непосредственно рассматривать как регулярный, поскольку кардинальная сумма конечного числа конечных кардинальных чисел сама по себе конечна. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega +1}$— следующее порядковое число, большее . Оно единственное, так как не является предельным порядковым числом. — следующее предельное порядковое число после . Его можно записать как предел последовательности , , , , и так далее. Эта последовательность имеет тип порядка , поэтому является пределом последовательности типа меньше , элементы которой являются порядковыми числами меньше ; поэтому оно единственное. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega +2}$ ${\displaystyle \omega +3}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$

${\displaystyle \aleph _{1}}$— следующее кардинальное число , большее , поэтому кардиналы, меньшие , являются счетными (конечными или счетными). Принимая аксиому выбора, объединение счетного множества счетных множеств само является счетным. Поэтому не может быть записано как сумма счетного множества счетных кардинальных чисел и является правильным. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$является следующим кардинальным числом после последовательности , , , , и так далее. Его начальный ординал является пределом последовательности , , , , и так далее, которая имеет тип порядка , поэтому является сингулярным, и поэтому является . Предполагая аксиому выбора, является первым бесконечным кардинальным числом, которое является сингулярным (первым бесконечным ординалом , который является сингулярным, является , а первым бесконечным предельным ординалом, который является сингулярным, является ). Доказательство существования сингулярных кардинальных чисел требует аксиомы замены , и на самом деле невозможность доказать существование в теории множеств Цермело привела Френкеля к постулированию этой аксиомы. ^[1] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{3}}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Несчетные (слабые) предельные кардиналы , которые также являются регулярными, известны как (слабо) недоступные кардиналы . Их существование не может быть доказано в ZFC, хотя известно, что их существование не противоречит ZFC. Их существование иногда принимается как дополнительная аксиома. Недоступные кардиналы обязательно являются неподвижными точками функции алеф , хотя не все неподвижные точки являются регулярными. Например, первая неподвижная точка является пределом -последовательности и , следовательно, является сингулярной. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega _{\omega }},...}$

Характеристики

Если аксиома выбора верна, то каждый последующий кардинал является регулярным. Таким образом, регулярность или сингулярность большинства чисел алеф можно проверить в зависимости от того, является ли кардинал последующим кардиналом или предельным кардиналом. Для некоторых мощностей невозможно доказать равенство какому-либо конкретному алефу, например, мощности континуума , значением которого в ZFC может быть любой несчетный кардинал несчетной конфинальности (см. теорему Истона ). Гипотеза континуума постулирует, что мощность континуума равна , что является регулярным при условии выбора. ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Без аксиомы выбора: были бы кардинальные числа, которые не были бы вполне упорядочиваемыми. ^{[ необходима цитата ]} Более того, кардинальная сумма произвольного набора не могла бы быть определена. ^{[ необходима цитата ]} Следовательно, только числа алеф могли бы осмысленно называться регулярными или сингулярными кардиналами. ^{[ необходима цитата ] Более того, последующий алеф не обязательно был бы регулярным. Например, объединение счетного множества счетных множеств не обязательно было бы счетным. С} ZF согласуется то, что быть пределом счетной последовательности счетных ординалов, а также множество действительных чисел быть счетным объединением счетных множеств. ^{[ необходима цитата ]} Более того, с ZF согласуется то, что не включая AC, что каждый алеф, больший, чем является сингулярным (результат, доказанный Моти Гитиком ). ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Если — предельный ординал, то он является регулярным тогда и только тогда, когда множество , которое является критическими точками — элементарных вложений с — клуб в . ^[2] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(\alpha )=\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Для кардиналов говорят, что элементарное вложение является малым вложением, если транзитивно и . Кардинал несчетен и регулярен тогда и только тогда, когда существует такое , что для каждого существует малое вложение . ^{[3] Следствие 2.2} ${\displaystyle \kappa <\theta }$ ${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha >\kappa }$ ${\displaystyle \theta >\alpha }$ ${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$

Смотрите также

• Недоступный кардинал

Ссылки

1. Maddy, Penelope (1988), «Вера в аксиомы. I», Journal of Symbolic Logic , 53 (2): 481–511, doi :10.2307/2274520, JSTOR  2274520, MR  0947855, Ранние намеки на Аксиому Замещения можно найти в письме Кантора Дедекинду [1899] и у Мириманова [1917]. Мэдди цитирует две статьи Мириманова: «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории ансамблей» и «Замечания о теории ансамблей и антиномии Канториенны», обе в L'Enseignement Mathématique (1917). .
2. T. Arai, «Границы доказуемости в теориях множеств» (2012, стр. 2). Доступ 4 августа 2022 г.
3. Холи, Люкке, Ньегомир, «Малые характеристики вложения для больших кардиналов». Annals of Pure and Applied Logic т. 170, № 2 (2019), стр. 251–271.

• Герберт Б. Эндертон , Элементы теории множеств , ISBN 0-12-238440-7 
• Кеннет Кюнен , Теория множеств, Введение в доказательства независимости , ISBN 0-444-85401-0