В математической области теории представлений редуктивная двойственная пара — это пара подгрупп ( G , G ′) группы изометрий Sp( W ) симплектического векторного пространства W , такая, что G является централизатором G ′ в Sp( W ) и наоборот, и эти группы действуют редуктивно на W. Несколько более свободно говорят о двойственной паре всякий раз, когда две группы являются взаимными централизаторами в большей группе, которая часто является общей линейной группой . Это понятие было введено Роджером Хау в Howe (1979). Его прочные связи с классической теорией инвариантов обсуждаются в Howe (1989a).
Понятие редуктивной дуальной пары имеет смысл над любым полем F , которое мы предполагаем фиксированным на всем протяжении. Таким образом, W является симплектическим векторным пространством над F .
Если W 1 и W 2 — два симплектических векторных пространства, а ( G 1 , G ′ 1 ), ( G 2 , G ′ 2 ) — две редуктивные двойственные пары в соответствующих симплектических группах, то мы можем образовать новое симплектическое векторное пространство W = W 1 ⊕ W 2 и пару групп G = G 1 × G 2 , G ′ = G ′ 1 × G ′, 2, действующих на W изометриями. Оказывается, что ( G , G ′) — редуктивная двойственная пара. Редуктивная двойственная пара называется приводимой, если она может быть получена таким образом из меньших групп, и неприводимой в противном случае. Приводимая пара может быть разложена в прямое произведение неприводимых, и для многих целей достаточно ограничиться неприводимым случаем.
Несколько классов редуктивных дуальных пар появились ранее в работе Андре Вейля . Роджер Хоу доказал теорему классификации , которая утверждает, что в неприводимом случае эти пары исчерпывают все возможности. Неприводимая редуктивная дуальная пара ( G , G ′) в Sp( W ) называется парой типа II , если существует лагранжево подпространство X в W, которое инвариантно как относительно G , так и относительно G ′, и парой типа I в противном случае.
Архетипическая неприводимая редуктивная дуальная пара типа II состоит из пары общих линейных групп и возникает следующим образом. Пусть U и V — два векторных пространства над F , X = U ⊗ F V — их тензорное произведение, а Y = Hom F ( X , F ) — его дуальное . Тогда прямая сумма W = X ⊕ Y может быть снабжена симплектической формой, такой что X и Y являются лагранжевыми подпространствами, а ограничение симплектической формы на X × Y ⊂ W × W совпадает со спариванием между векторным пространством X и его дуальным Y . Если G = GL( U ) и G ′ = GL( V ), то обе эти группы действуют линейно на X и Y , действия сохраняют симплектическую форму на W , и ( G , G ′) — неприводимая редуктивная дуальная пара. Обратите внимание, что X является инвариантным лагранжевым подпространством, поэтому эта дуальная пара имеет тип II.
Архетипическая неприводимая редуктивная дуальная пара типа I состоит из ортогональной группы и симплектической группы и строится аналогично. Пусть U — ортогональное векторное пространство, V — симплектическое векторное пространство над F , а W = U ⊗ F V — их тензорное произведение. Ключевое наблюдение состоит в том, что W — симплектическое векторное пространство, билинейная форма которого получается из произведения форм на тензорных множителях. Более того, если G = O( U ) и G ′ = Sp( V ) — группы изометрий U и V , то они действуют на W естественным образом, эти действия являются симплектическими, и ( G , G ′) — неприводимая редуктивная дуальная пара типа I.
Эти две конструкции производят все неприводимые редуктивные дуальные пары над алгебраически замкнутым полем F , таким как поле C комплексных чисел . В общем случае можно заменить векторные пространства над F на векторные пространства над алгеброй с делением D над F , и действовать аналогично вышеизложенному, чтобы построить неприводимую редуктивную дуальную пару типа II. Для типа I начинают с алгебры с делением D с инволюцией τ, эрмитовой формы на U , и косоэрмитовой формы на V (обе они невырождены), и формируют их тензорное произведение над D , W = U ⊗ D V . Тогда W естественным образом наделяется структурой симплектического векторного пространства над F , группы изометрий U и V действуют симплектически на W и образуют неприводимую редуктивную дуальную пару типа I. Роджер Хау доказал, что с точностью до изоморфизма любая неприводимая дуальная пара возникает таким образом. Подробный список для случая F = R представлен в работе Howe (1989b).