Набор резольвент

В линейной алгебре и теории операторов резольвентное множество линейного оператора — это множество комплексных чисел , для которых оператор в некотором смысле « хорошо себя ведет ». Резольвентное множество играет важную роль в резольвентном формализме .

Определения

Пусть X — банахово пространство , а — линейный оператор с областью определения . Пусть id обозначает тождественный оператор на X . Для любого пусть $L\двоеточие D(L)\rightarrow X$ $D(L)\subseteq X$ $\lambda \in \mathbb {C}$

L_ {\lambda }=L-\lambda \,\mathrm {id} .

Комплексное число называется регулярным значением, если выполняются следующие три утверждения: $\лямбда$

$L_{\лямбда}$ является инъективным , то есть, ограничение на его образ имеет обратный, называемый резольвентой ; ^[1] $L_{\лямбда}$ $R(\lambda,L)=(L-\lambda \,\mathrm {id})^{- 1}$
$R(\лямбда ,L)$ — ограниченный линейный оператор ;
$R(\лямбда ,L)$ определено на плотном подпространстве X , то есть имеет плотный диапазон. $L_{\лямбда}$

Резольвентное множество L — это множество всех регулярных значений L :

\rho (L)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \lambda {\mbox{ является обычным значением }}L\}.

Спектр является дополнением к резольвентному множеству

\сигма (L)=\mathbb {C} \setminus \ро (L),

и подчиняются взаимно сингулярному спектральному разложению на точечный спектр (при нарушении условия 1), непрерывный спектр (при нарушении условия 2) и остаточный спектр (при нарушении условия 3).

Если — замкнутый оператор , то замкнутым является каждый из них , и условие 3 можно заменить требованием, чтобы оператор был сюръективным . $L$ $L_{\лямбда}$ $L_{\лямбда}$

Характеристики

Резольвентное множество ограниченного линейного оператора L является открытым множеством . $\rho (L)\subseteq \mathbb {C}$
В более общем случае резольвентное множество плотно определенного замкнутого неограниченного оператора является открытым множеством.

Примечания

↑ Рид и Саймон 1980, стр. 188.

Ссылки

Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт К. (2004). Введение в уравнения с частными производными . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR 2028503 (см. раздел 8.3)

Внешние ссылки