Закон параллелограмма

Сумма квадратов всех четырех сторон параллелограмма равна сумме двух его диагоналей.

Стороны параллелограмма ABCD показаны синим цветом, а диагонали — красным. Сумма площадей синих квадратов равна сумме площадей красных квадратов.

В математике простейшая форма закона параллелограмма (также называемая тождеством параллелограмма ) принадлежит элементарной геометрии . Он гласит, что сумма квадратов длин четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин двух диагоналей. Мы используем эти обозначения для сторон: AB , BC , CD , DA . Но поскольку в евклидовой геометрии параллелограмм обязательно имеет равные противоположные стороны, то есть AB = CD и BC = DA , закон можно сформулировать как $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}$$

Если параллелограмм является прямоугольником , то две диагонали имеют одинаковую длину AC = BD , поэтому и утверждение сводится к теореме Пифагора . Для общего четырехугольника (с четырьмя сторонами, не обязательно равными) теорема Эйлера о четырехугольнике гласит, где — длина отрезка, соединяющего середины диагоналей . Из рисунка видно, что для параллелограмма общая формула упрощается до закона параллелограмма. $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}$$ $${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$

Доказательство

В параллелограмме справа пусть AD = BC = a , AB = DC = b . Используя теорему косинусов в треугольнике, получаем: ${\displaystyle \angle BAD=\alpha .}$ ${\displaystyle \triangle BAD,}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.}$$

В параллелограмме смежные углы являются дополнительными , поэтому применение теоремы косинусов в треугольнике дает: ${\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha .}$ ${\displaystyle \triangle ADC,}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.}$$

Применяя тригонометрическое тождество к предыдущему результату, доказываем: ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.}$$

Теперь сумму квадратов можно выразить как: ${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$ $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).}$$

Упрощая это выражение, получаем: $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}$$

Закон параллелограмма в пространствах внутренних произведений

Векторы, участвующие в законе параллелограмма.

В нормированном пространстве формулировка закона параллелограмма представляет собой уравнение, связывающее нормы : $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}$$

Закон параллелограмма эквивалентен, казалось бы, более слабому утверждению: потому что обратное неравенство может быть получено из него путем замены и на и последующего упрощения. С тем же доказательством закон параллелограмма также эквивалентен: $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y}$$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}$$

В пространстве внутреннего произведения норма определяется с помощью внутреннего произведения : $${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}$$

Вследствие этого определения в пространстве скалярного произведения закон параллелограмма является алгебраическим тождеством, легко устанавливаемым с использованием свойств скалярного произведения: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}$$ $${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

Добавляем эти два выражения: по мере необходимости. $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}$$

Если ортогональна значению , то приведенное выше уравнение для нормы суммы принимает вид: что является теоремой Пифагора . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0,}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}$$

Нормированные векторные пространства, удовлетворяющие закону параллелограмма

Большинство действительных и комплексных нормированных векторных пространств не имеют внутренних произведений, но все нормированные векторные пространства имеют нормы (по определению). Например, обычно используемая норма для вектора в действительном координатном пространстве — это -норма : ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

При наличии нормы можно оценить обе стороны закона параллелограмма выше. Примечательным фактом является то, что если закон параллелограмма выполняется, то норма должна возникнуть обычным образом из некоторого внутреннего произведения. В частности, это выполняется для -нормы тогда и только тогда, когда так называемая евклидова норма или стандартная норма. ^{[1] [2]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2,}$

Для любой нормы, удовлетворяющей закону параллелограмма (которая обязательно является нормой внутреннего произведения), внутреннее произведение, порождающее норму, является уникальным как следствие тождества поляризации . В реальном случае тождество поляризации задается как: или, что эквивалентно, как $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\qquad {\text{ or }}\qquad {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.}$$

В комплексном случае это определяется выражением: $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.}$$

Например, при использовании -нормы с действительными векторами и вычисление внутреннего произведения происходит следующим образом: что является стандартным скалярным произведением двух векторов. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\[4mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}$$

Другим необходимым и достаточным условием существования скалярного произведения, индуцирующего заданную норму, является то, чтобы норма удовлетворяла неравенству Птолемея : ^[3] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$

Смотрите также

• Свойство коммутативности  – Свойство некоторых математических операций
• Франсуа Давиет  — итальянский математик и военный офицер (1734–1798)
• Пространство внутреннего произведения  — обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств.
• Расстояние Минковского  – Математическая метрика в нормированном векторном пространстве
• Нормированное векторное пространство  – векторное пространство, на котором определено расстояние.
• Поляризационное тождество  – формула, связывающая норму и скалярное произведение в пространстве скалярных произведений.
• Неравенство Птолемея  – неравенство, связывающее шесть расстояний между четырьмя точками на плоскости.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Ссылки

1. Кантрелл, Сайрус Д. (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров. Cambridge University Press. стр. 535. ISBN 0-521-59827-3. если p  ≠ 2, то не существует внутреннего произведения такого, что p -норма нарушает закон параллелограмма. ${\textstyle {\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}}$
2. Саксен, Карен (2002). Начало функционального анализа. Springer. стр. 10. ISBN 0-387-95224-1.
3. Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордовая метрика». Mathematics Magazine . 40 (5): 233–235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Закон параллелограмма». MathWorld .
• Закон параллелограмма доказан просто в блоге Dreamshire
• Закон параллелограмма: доказательство без слов на cut-the-knot