Равнодействующая сила

Единая сила, представляющая собой комбинацию всех сил, действующих на физическое тело.

Графическое размещение равнодействующей силы

В физике и технике результирующая сила — это единая сила и связанный с ней крутящий момент , получаемые путем объединения системы сил и моментов, действующих на твердое тело путем сложения векторов . Определяющей особенностью равнодействующей силы, или равнодействующей силы-момента, является то, что она оказывает на твердое тело такое же воздействие, как и исходная система сил. ^[1] Расчет и визуализация результирующей силы, действующей на тело, осуществляется посредством вычислительного анализа или (в случае достаточно простых систем) диаграммы свободного тела .

Точка приложения результирующей силы определяет связанный с ней крутящий момент. Термин результирующая сила следует понимать как относящийся как к силам, так и к крутящим моментам, действующим на твердое тело, поэтому некоторые используют термин результирующая сила-крутящий момент .

Сила, равная по величине равнодействующей силе, но направленная в противоположную сторону, называется равновесной силой . ^[2]

Иллюстрация

Схема иллюстрирует простые графические способы нахождения линии приложения равнодействующей силы простых плоских систем.

1. Линии приложения действующих сил и на крайнем левом рисунке пересекаются. После того, как сложение векторов выполнено «в месте », полученная результирующая сила переводится так, что линия ее приложения проходит через общую точку пересечения. По отношению к этой точке все крутящие моменты равны нулю, поэтому крутящий момент результирующей силы равен сумме крутящих моментов действительных сил. ${\displaystyle {\scriptstyle {\vec {F}}_{1}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{R}}$
2. На рисунке в середине диаграммы показаны две параллельные действующие силы. После сложения вектора «в месте » результирующая сила переводится в соответствующую линию приложения, где она становится равнодействующей силой . Процедура основана на разложении всех сил на составляющие, у которых линии приложения (бледные пунктирные линии) пересекаются в одной точке (так называемый полюс, произвольно установленный в правой части иллюстрации). Затем аргументы из предыдущего случая применяются к силам и их компонентам, чтобы продемонстрировать отношения крутящих моментов. ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{R}}$
3. На крайнем правом рисунке показаны пара , две равные, но противоположные силы, для которых величина результирующей силы равна нулю, но они создают чистый крутящий момент    где   - расстояние между линиями их приложения. Это «чистый» крутящий момент, поскольку результирующей силы нет. ${\displaystyle \scriptstyle \tau =Fd}$ ${\displaystyle \scriptstyle d}$

Связанный вектор

Сила, приложенная к телу, имеет точку приложения. Действие силы различно для разных точек приложения. По этой причине силу называют связанным вектором , что означает, что она привязана к точке приложения.

Силы, приложенные в одной точке, можно суммировать, чтобы получить одинаковое воздействие на тело. Однако силы с разными точками приложения не могут суммироваться и оказывать одинаковое воздействие на организм.

Изменить точку приложения силы несложно, приложив равные и противоположные силы в двух разных точках приложения, которые создают чистый крутящий момент на теле. Таким образом, все силы, действующие на тело, могут быть перенесены в одну и ту же точку приложения с соответствующими крутящими моментами.

Система сил, действующих на твердое тело, объединяется путем перемещения сил к одной и той же точке приложения и вычисления соответствующих крутящих моментов. Сумма этих сил и моментов дает результирующую силу-момент.

Сопутствующий крутящий момент

Если в качестве точки приложения равнодействующей силы F системы n сил F _i выбрана точка R , то соответствующий крутящий момент Т определяется по формулам

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},}$

и

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}.}$

Полезно отметить, что точка приложения результирующей силы R может находиться где угодно на линии действия F без изменения значения соответствующего крутящего момента. Чтобы увидеть это, добавьте вектор k F к точке приложения R при расчете соответствующего крутящего момента:

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-(\mathbf {R} +k\mathbf {F} ))\times \mathbf {F} _{i}.}$

Правую часть этого уравнения можно разделить на исходную формулу для T плюс дополнительный член, включающий k F ,

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}-\sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$

потому что второй член равен нулю. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что F — это сумма векторов F _i , что дает

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=k\mathbf {F} \times (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i})=0,}$

таким образом, значение соответствующего крутящего момента остается неизменным.

Результат без крутящего момента

Полезно рассмотреть, существует ли точка приложения R , в которой связанный с ней крутящий момент равен нулю. Эта точка определяется свойством

${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i},}$

где F — результирующая сила, а F _i образуют систему сил.

Обратите внимание, что это уравнение для R имеет решение только в том случае, если сумма отдельных крутящих моментов в правой части дает вектор, перпендикулярный F . Таким образом, условие наличия равнодействующей системы сил без крутящего момента можно записать как

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i})=0.}$

Если это условие выполняется, то существует точка приложения равнодействующей, которая приводит к возникновению чистой силы. Если это условие не выполняется, то в систему сил входит чистый крутящий момент для каждой точки приложения.

Гаечный ключ

Силы и крутящие моменты, действующие на твердое тело, можно объединить в пару векторов, называемую гаечным ключом . ^[3] Если система сил и моментов имеет результирующую силу F и результирующий крутящий момент T , то всю систему можно заменить силой F и произвольно расположенной парой, которая дает крутящий момент T . В общем, если F и T ортогональны, можно получить радиальный вектор R такой , что это означает, что единственная сила F , действующая при смещении R , может заменить систему. Если система имеет нулевую силу (только крутящий момент), она называется винтом и математически формулируется как теория винта . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {F} =\mathbf {T} }$

Результирующая сила и крутящий момент, действующие на твердое тело, полученные из системы сил Fi _i =1,...,n, представляют собой просто сумму отдельных ключей Wi _, то есть

${\displaystyle {\mathsf {W}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Обратите внимание, что случай двух равных, но противоположных сил F и -F , действующих в точках A и B соответственно, дает результат W=( F - F , A × F - B × F ) = (0, ( A - B )× Ф ). Это показывает, что ключи вида W=(0, T ) можно интерпретировать как чистые крутящие моменты.

Рекомендации

• Физический портал

1. Х. Дадуриан, Аналитическая механика для студентов-физиков и инженеров, Van Nostrand Co., Бостон, Массачусетс, 1913 г.
2. Харди 1904, с. 23.
3. RM Мюррей, З. Ли и С. Састри, Математическое введение в роботизированные манипуляции, CRC Press, 1994.
4. Р. С. Болл, Теория винтов: исследование динамики твердого тела, Ходжес, Фостер и компания, 1876 г.
5. Дж. М. Маккарти и Г. С. Со, Геометрический дизайн связей. 2-е издание, Springer 2010 г.

Источники

• Харди, Э. (1904). Элементарные начала графической статики. БТ Бэтсфорд . Проверено 2 февраля 2024 г.