Результирующая сила

Единая сила, представляющая собой совокупность всех сил, действующих на физическое тело.

Графическое размещение результирующей силы

В физике и технике результирующая сила — это единичная сила и связанный с ней крутящий момент, полученные путем объединения системы сил и крутящих моментов, действующих на твердое тело посредством векторного сложения . Определяющей чертой результирующей силы или результирующей силы-крутящего момента является то, что она оказывает такое же воздействие на твердое тело, как и исходная система сил. ^[1] Расчет и визуализация результирующей силы, действующей на тело, выполняется с помощью вычислительного анализа или (в случае достаточно простых систем) диаграммы свободного тела .

Точка приложения результирующей силы определяет связанный с ней крутящий момент. Термин результирующая сила следует понимать как относящийся как к силам, так и к крутящим моментам, действующим на твердое тело, поэтому некоторые используют термин результирующая сила–крутящий момент .

Сила, равная по величине результирующей силе, но направленная в противоположную сторону, называется уравновешивающей силой . ^[2]

Иллюстрация

На схеме показаны простые графические методы нахождения линии приложения равнодействующей силы простых плоских систем.

1. Линии приложения реальных сил и на самой левой иллюстрации пересекаются. После того, как сложение векторов выполнено "в месте ", полученная чистая сила переносится так, чтобы ее линия приложения проходила через общую точку пересечения. Относительно этой точки все крутящие моменты равны нулю, поэтому крутящий момент результирующей силы равен сумме крутящих моментов реальных сил. ${\displaystyle {\scriptstyle {\vec {F}}_{1}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{R}}$
2. Иллюстрация в середине диаграммы показывает две параллельные фактические силы. После сложения векторов "в месте " чистая сила переносится на соответствующую линию приложения, где она становится результирующей силой . Процедура основана на разложении всех сил на компоненты, для которых линии приложения (бледные пунктирные линии) пересекаются в одной точке (так называемый полюс, произвольно установленный в правой части иллюстрации). Затем аргументы из предыдущего случая применяются к силам и их компонентам, чтобы продемонстрировать соотношения крутящего момента. ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}_{R}}$
3. На самом правом рисунке изображена пара , две равные, но противоположные силы, для которых сумма чистой силы равна нулю, но они производят чистый крутящий момент    , где   — расстояние между их линиями приложения. Это «чистый» крутящий момент, поскольку результирующей силы нет. ${\displaystyle \scriptstyle \tau =Fd}$ ${\displaystyle \scriptstyle d}$

Связанный вектор

Сила, приложенная к телу, имеет точку приложения. Эффект силы различен для разных точек приложения. По этой причине сила называется связанным вектором , что означает, что она связана с точкой приложения.

Силы, приложенные в одной и той же точке, можно сложить, чтобы получить одинаковое воздействие на тело. Однако силы с разными точками приложения не могут складываться и сохранять одинаковое воздействие на тело.

Изменить точку приложения силы несложно, введя равные и противоположные силы в двух разных точках приложения, которые создают чистый крутящий момент на теле. Таким образом, все силы, действующие на тело, можно переместить в одну и ту же точку приложения с соответствующими крутящими моментами.

Система сил, действующих на твердое тело, объединяется путем перемещения сил в одну и ту же точку приложения и вычисления связанных с ними моментов. Сумма этих сил и моментов дает результирующий момент силы.

Сопутствующий крутящий момент

Если в качестве точки приложения равнодействующей силы F системы из n сил F _i выбрана точка R , то соответствующий крутящий момент T определяется по формулам

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},}$

и

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}.}$

Полезно отметить, что точка приложения R результирующей силы может находиться в любом месте вдоль линии действия F без изменения значения соответствующего крутящего момента. Чтобы увидеть это, добавьте вектор k F к точке приложения R при расчете соответствующего крутящего момента,

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-(\mathbf {R} +k\mathbf {F} ))\times \mathbf {F} _{i}.}$

Правую часть этого уравнения можно разделить на исходную формулу для T и дополнительный член, включающий k F ,

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i}-\sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}$

потому что второй член равен нулю. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что F — это сумма векторов F _i, что дает

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k\mathbf {F} \times \mathbf {F} _{i}=k\mathbf {F} \times (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i})=0,}$

таким образом, значение соответствующего крутящего момента остается неизменным.

Результирующий без крутящего момента

Полезно рассмотреть, существует ли точка приложения R, такая, что соответствующий крутящий момент равен нулю. Эта точка определяется свойством

${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i},}$

где F — результирующая сила, а F _i образуют систему сил.

Обратите внимание, что это уравнение для R имеет решение только в том случае, если сумма отдельных моментов в правой части дает вектор, перпендикулярный F. Таким образом, условие того, что система сил имеет результирующую без моментов, можно записать как

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\sum _{i=1}^{n}\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i})=0.}$

Если это условие выполняется, то существует точка приложения равнодействующей, которая приводит к чистой силе. Если это условие не выполняется, то система сил включает в себя чистый крутящий момент для каждой точки приложения.

Гаечный ключ

Силы и крутящие моменты, действующие на твердое тело, можно собрать в пару векторов, называемых гаечным ключом . ^[3] Если система сил и крутящих моментов имеет чистую результирующую силу F и чистый результирующий крутящий момент T , то всю систему можно заменить силой F и произвольно расположенной парой, которая дает крутящий момент T. В общем случае, если F и T ортогональны, можно вывести радиальный вектор R такой, что , что означает, что единственная сила F , действующая при смещении R , может заменить систему. Если система имеет нулевую силу (только крутящий момент), она называется винтом и математически формулируется как теория винтов . ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {F} =\mathbf {T} }$

Результирующая сила и крутящий момент на твердом теле, полученные из системы сил F _i i=1,...,n, представляют собой просто сумму отдельных гаечных ключей W _i , то есть

${\displaystyle {\mathsf {W}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {R} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Обратите внимание, что случай двух равных, но противоположных сил F и -F, действующих в точках A и B соответственно, дает результирующий W=( F - F , A × F - B × F ) = (0, ( A - B )× F ). Это показывает, что гаечные ключи формы W=(0, T ) можно интерпретировать как чистые крутящие моменты.

Ссылки

• Физический портал

1. Х. Дадурян, Аналитическая механика для студентов физико-технических вузов, Van Nostrand Co., Бостон, Массачусетс, 1913 г.
2. Харди 1904, стр. 23.
3. Р. Мюррей, З. Ли и С. Састри, Математическое введение в роботизированную манипуляцию, CRC Press, 1994
4. RS Ball, Теория винтов: исследование динамики твердого тела, Hodges, Foster & Co., 1876
5. Дж. М. Маккарти и Г. С. Сох, Геометрическое проектирование связей. 2-е издание, Springer 2010

Источники

• Харди, Э. (1904). Элементарные принципы графической статики. BT Batsford . Получено 2024-02-02 .